Matematika BSC. hallgatók számára

2016-2017 tanév, őszi félév

Helyszín: SZTE Bolyai Intézet, Kalmár kabinet

Oktató: Dr. Karsai János egyetemi docens, TTIK, Bolyai Intézet 

Szabályok, előzetes munkaterv (PDF)

Segédanyagok (Mathematica-ban)

• Mathematical and visualizaton packages
• Computer-aided study of mathematical models with Mathematica
• Korábbi zárthelyi dolgozatok feladatai
• Aktuális fejlesztések a csoportok honlapján

Téma javaslatok

• Populációdinamikai modellek vizsgálata
• Lorenz , Rössler rendszerek esetén kaotikus és hosszú periodikus megoldások elkülönítése
• Elsô integrálok polinom jobboldalú DE-rendszerekhez.
• Immunitás hosszának hatása (EPI, SIRS-SIS/SIR)
• Késleltetés populációdinamikában: egy populáció különbözô születési fgv-el.
• Diszkrét Fourier Transzformáció, impl, alkalmazás, empirikus mérések
• Interpoláció és a kínai maradéktétel
• Moduláris megközelítések a computeralgebrában interm expr swell, megoldások
• Nevezetes konstansok (algebrai, transzcendens számok) közelítése sorozatokkal, sorokal.
• Valós gyökizoláció, szeparáció korlátok (komplex gyökök is lehet)
• Többdimenziós Newton-Raphson iteráció (kapcsolata fraktálokkal, kombinált módszerek gyökkeresésre)
• Explicit módon megoldható differenciaegyenletek, generátorfüggvények (Gosper-Zeilberger algoritmsok)
• Bolyongások empirikus illusztrálása, szimulációja
• PD-Halak-lehalászással
• Gröbner bázisok és geometriai tételbizonyítás
• Lorenz, Rössler rendszerek esetén kaotikus és hosszú periodikus megoldások elkülönítése
• Moduláris megközelítések a computeralgebrában intermediate expression swell, megoldások
• Valós gyökizoláció, szeparáció korlátok (komplex gyökök is lehet)
• PDE-k numerikus megoldása ill. vizualizáció (hôterjedés, hullámterjedés)
• ODE-k numerikus megoldása (Euler, Runge-Kutta)
• Többszörös, impr., vonalintegrálok
• Véges csoportok
• Look and Say Sequence (ill. esetleg hasonló érdekes sorozatok)
• Cilindrikus algebrai dekompozició (CAD) 1 és 2 dimenzióban
• Bifurkáció dinamikus rendszerekben
• p-adikus számok és alkalmazások (Hensel lifting)
• Gergorin körök és Cassini oválisok
• Buchberger algoritmusa Gröbner bázisok meghatározására
• Epidemiológiai modellek vizsgálata
• Mechanikai rendszerek vizsgálata
• Kémiai reakciók modellezése

Néhány megvalósult projekt

• Geometriai inverzió
• A Huffman-kód
• Automatikus tételbizonyítás Wolfram Mathematicával
• Gröbner-bázisok
• Cilindrikus algebrai felbontás
• Algebrai struktúrák vizualizációi
• Prímszámok
• A Catalan - számok
• Számelméleti függvények, körosztási polinomok, és kapcsolatuk
• Véges csoportok
• A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény
• Érdekes sorozatok
• Nevezetes állandók(\[Pi] illetve Sqrt[3]) közelítései függvénysorok segítségével
• Egy módszer π közelítésére
• Fraktálok bemutatása példákon keresztül
• Fraktálok a Mathematicában: A Koch-görbe és néhány érdekesség
• Mandelbrot típusú halmazok és azok számítógépes ábrázolása
• Komplex függvények iterációi és a másodfokú Julia-halmazok
• Függvényvizsgálat
• Alakzat konvex burkának, és polárisának meghatározása
• Caratheodory-tétel, halmazok szélessége, Minkowski-összeg, Támaszfüggvény
• Többdimenziós Newton-Raphson iteráció
• INTERPOLÁCIÓ ÉS A KÍNAI MARADÉKTÉTEL
• Mátrixok sajátértékeinek korlátai és eloszlása
• Függvények közelítése
• A komplex vonalintegrál és a Cauchy-féle integráltétel
• Reakciókinetikai stabilitás gráfokkal
• Gráfok
• Gráfok: Gráf keresések
• Gráfok, Random gráfok
• Folytonos Box Játék
• Lineáris Programozási feladatok megoldása grafikusan
• Sudoku ellenőrző program
• Játékvezérlők használata a programban
• Egy Jackpotjáték megoldása a Mathematica segítségével
• Kő-olló-papír
• DIFFERENCIÁLEGYENLETEK NUMERIKUS MEGOLDÁSA
• Differenciál egyenletek megoldása és vizsgálata
• Numerikus módszerek első - rendű differenciálegyenletek megoldására
• A teniszben szervák és adogatások modellezése, az őket befolyásoló tényezők paramétereivel
• Differenciaegyenletek piacmodellekben
• Populációdinamikai modellek vizsgálata
• Populációdinamika - Lotka-Volterra egyenlet
• Numerikus integrálás
• Nevezetes konstansok (algebrai, transzcendens számok) közelítése sorozatokkal, sorokkal
• Hajítások
• A gömbi inga
• Mechanikai rezgések modellezése
• Epidemiológiai modellek vizsgálata
• Ballisztikus pályák
• Baktérium szaporodás
• A van der Pol oszcillátor
• Rezgőmozgások és jellemzésük
• Kepler törvényei és a kéttest - probléma
• Steady-state közelítés a reakciókinetikában
• Reakciókinetika
• A Nicholson egyenlet vizsgálata
• Hangok vizsgálata
• A piaci árfolyamatokat leíró modellek
• Hutchinson - Wright egyenlet
• Ragadozó - zsákmány modellek
• Baktériumok szaporodásának és mutációinak szimulációja Mathematica-val
• Egy járvány lehetséges kimeneteleinek vizsgálata a Mathematica segítségével
• Naprendszer modell
• Az acetilszalicilsav hidrolízisének kinetikai tanulmányozása vizes oldatban
• Sav - bázis titrimetria
• Bolyongások szimulálása
• Conway életjátéka
• Maxwell-féle sebességeloszlás
• Nevezetes Eloszlások
• Nagy számok törvénye
• Galton - Watson folyamat
• A lineáris regressziós egyenes paraméterének becslése maximum-likelihood becsléssel