Sajátérték, Sajátvektor, Gersgorin körök

Sajátérték, Sajátvektor

Az A négyzetes mátrix sajátértéke λ, ha van olyan nemzéró x vektor úgy, hogy A x=λx. Ekkor x egy, a  λ értékhez tartozó sajátvektor.

A1=(({{-1, 2}, {3, 4}}));

Eigenvalues[(({{-1, 2}, {3, 4}}))]

λ/.Solve[Det[(({{-1, 2}, {3, 4}}))-λ IdentityMatrix[2]]==0]

CharacteristicPolynomial[A1,λ]

Solve[%==0,λ]

Eigenvectors[(({{-1, 2}, {3, 4}}))]

Eigensystem[(({{-1, 2}, {3, 4}}))]

{Tr[A1] ,Plus@@Eigenvalues[A1]}

{Det[A1] ,Times@@Eigenvalues[A1]}

?Det

?Tr

Sajátértékek kapcsolatai

p(A) sajátértékei

A=(({{-1, 1}, {4, 2}}));

Eigenvalues[A]

B=A.A.A;MatrixForm[B]

MatrixPower[A,3]//MatrixForm

A^3//MatrixForm

Eigenvalues[A]

Eigenvalues[B]

Sejtés. B-nek a sajátértékei A sajátértékeinek köbei

Eigenvalues[A]

Eigenvalues[Inverse[A]]

Gersgorin körök

Cél: sajátértékek abszolútértékeinek becslése

(Subscript[u, j])=Re[(Subscript[a, j j])] ,(Subscript[v, j])=Im[(Subscript[a, j j])] , (Subscript[r, j])=(∑_(k,k≠j)) |(Subscript[a, j k])|

Gershgorin Disks
Copyrights (partially) by Wofram Research -> MathWorld

GerschgorinDisks[(a_List)?MatrixQ]:=Module[{abs=Abs[a],disks},disks=Transpose[{Through/@{Re,Im}/@Tr[a,List],(Plus@@#&)/@abs-Tr[abs,List]}];
{
{Hue[.5],Disk@@@disks},
Circle@@@disks
}
]

B1=(({{4, -1, I}, {1, -I, 0}, {2, 0, -1+I}}));

EVL=N[Eigenvalues[B1]]

EVCoord[el_]:=Map[{Re[#],Im[#]}&,el]

EVCoord[EVL]

Re[1+2I]

Im[1+2I]

Map[((#)^3)+1&,{-1,2,5,-9}]

Show[Graphics[GerschgorinDisks[B1]],Sequence@@Map[Graphics[{RGBColor[1,0,1],PointSize[.02],Point[#]}]&,EVCoord[EVL]],Sequence@@Map[Graphics[{Black,PointSize[.02],Point[#]}]&,EVCoord[Table[B1[[j,j]],{j,Length[B1]}]]],Axes->True,ImageSize->{400,300},PlotRange->{{-4,8},{-6,6}},AspectRatio->1]

B=(({{b11, b12}, {b21, b22}}));

Manipulate[Column[{MatrixForm[B],Show[Graphics[GerschgorinDisks[B=Partition[Map[#[[1]]+#[[2]]I&,{b11,b12,b21,b22}],2]]],Sequence@@Map[Graphics[{RGBColor[1,0,1],PointSize[.02],Point[#]}]&,EVCoord[N[Eigenvalues[B]]]],Sequence@@Map[Graphics[{Black,PointSize[.02],Point[#]}]&,EVCoord[Table[B[[j,j]],{j,Length[B]}]]],Axes->True,ImageSize->{400,300},PlotRange->{{-10,10},{-10,10}},AspectRatio->1]}],{{b11,{1,0}},{-4,-4},{4,4},Slider2D,ControlPlacement->Left},{{b12,{2,0}},{-4,-4},{4,4},Slider2D,ControlPlacement->Right},{{b21,{3,0}},{-4,-4},{4,4},Slider2D,ControlPlacement->Left},{{b22,{4,0}},{-4,-4},{4,4},Slider2D},ControlPlacement->Right,SaveDefinitions->True]

Határozzuk meg a Gersgorin köröket és adjunk becslést a sajátértékének abszolút értékére.

A=(({{12, -2, 1}, {-2, 15, 3}, {1, -2, 10}}));

Eigenvalues[Transpose[A]]

EVL=Eigenvalues[A]

{Min[Abs[EVL]],Max[Abs[EVL]]}

Show[Graphics[GerschgorinDisks[A]],Sequence@@Map[Graphics[{RGBColor[1,0,0],PointSize[.02],Point[#]}]&,EVCoord[EVL]],Axes->True,ImageSize->{400,300},PlotRange->{{0,25},{-6,6}},AspectRatio->Automatic]

Megjegyzés. Következmény: 7≤|(Subscript[λ, i])|≤20

B=(({{8, 1, 0}, {1, 4, 1/2}, {0, 1/2, 1}}));

Det[B]

A B mátrix pozitív definit

EVL=Eigenvalues[B]//N

Show[Graphics[GerschgorinDisks[B]],Sequence@@Map[Graphics[{RGBColor[1,0,0],PointSize[.02],Point[#]}]&,EVCoord[EVL]],Axes->True,ImageSize->{400,300},PlotRange->{{0,10},{-4,4}},AspectRatio->Automatic]