1. Dolgozat
2011 - 2012 tanév, Ősz

Változat

(5 points)

Ábrázold a

h(x)=(2^x) cos(x)

függvényt a [-π,π] intervallumon, úgy hogy az y-range [-1,10], és az x-tengely kétszer olyan hosszú, mint az y-tengely. Színezd a grafikont az y-értékeknek megfelelően.

(5 points)

A k mely értékei mellett lesz a

A=(({{1, 0, 1}, {1, k, k}, {1, 0, k}}))

mátrix szinguláris? Ekkor határozd meg a nullteret (magtér).

(15 pont

Tekintsük az alábbi függvényeket:

f(x_):=(((1.2 (x^2) (2^((x^2)-x))) x)/(((x^4)+1) ((3^((x^2)-x))+1)));      g(x_):=(((x^2) x (1.4^(-(x^2))))/((x^4)-x+1))

Hasonlítsd össze az f(x) és g(x) lokális, globális és aszimptotikus viselkedését.

Határozd meg az f'(x)=g'(x) egyenlet megoldásait.

Határozd meg az f(x) és g(x) grafikonjának érintőit ezeken a helyeken.

(10 pont)

Végezz grafikus vizsgálatokat az alábbi függvényen (grafikon, szintvonalak, parc. deriváltak, stb.). Határozd meg a szélsőértékeket és nyeregpontokat. Jelöld be a pontokat a grafikonon.

f(x_,y_):=((2 (x^4)-(Sqrt[(x^2)+(y^2)])+0.5 x+(y^4)-0.3 y-0.2 y)/(e^((x^4)+(y^2))))

(5 pont)

Ábrázold a

c(t_) := {sin(t), cos(3 t), Sin(2t)})

paraméteres görbét, t∈[0,2,π], úgy hogy a görbe pontjainak színét az origótól való távolságuk adja meg.

(10 pont)

Rajzold be az előző feladatbeli görbe (Subscript[t, 0])=k (π/6) (k,0,1,..., 11)  paraméterhez tartozó pontjaiban az érintő vektorokat.

Változat

(5 points)

Ábrázold a

h(x)=x log((x^2))sin(x)

függvényt a [-π,π] intervallumon, úgy hogy az y-range [-2,2], és az x-tengely háromszor olyan hosszú, mint az y-tengely. Színezd a grafikont az x-értékeknek megfelelően.

(5 points)

A k mely értékei mellett lesznek

A=(({{1, 2, 2}})) , 
B=(({{1, 1, k}})) ,
C=(({{1, k, 1}})) ,

vektorok lineáisan függőek? Ekkor mennyi a kifeszített tér dimenziója?

(15 pont

Tekintsük az alábbi függvényeket:

f(x_):=(((1.2 (x^2) (2^((x^2)-x))) x)/(((x^4)+1) ((3^((x^2)-x))+1)));        g(x_):=(((x^2) x (1.4^(-(x^2))))/((x^4)-x+1))

Hasonlítsd össze az f(x) és g(x) lokális, globális és aszimptotikus viselkedését.

Határozd meg az f(x)=g(x) egyenlet megoldásait.

Határozd meg az f(x) inflexiós helyeit, és határozd meg a g(x) érintőjét ezeken a helyeken.

(10 pont)

Végezz grafikus vizsgálatokat az alábbi függvényen (grafikon, szintvonalak, parc. deriváltak, stb.). Határozd meg a szélsőértékeket és nyeregpontokat. Jelöld be a pontokat a grafikonon.

f(x_,y_):=((-(Sqrt[(x^2)+(y^2)])+(x^2)-0.2 x+2 (y^4)+0.5 y-0.3 y)/(E^((x^6)+(y^4))))

(5 pont)

Ábrázold a

f(x_,y_) := (x^2)-(y^2)

függvény grafikonját, x,y∈[-1,1], úgy hogy a felület pontjainak színét a függvényérték adja meg.

(10 pont)

Rajzold be az előző feladatbeli felület (Subscript[x, 0]), (Subscript[y, 0])=±0.2 i (i=0,..5)  változókhoz tartozó pontjaiban az normálvektorokat.