2. Dolgozat - 2014. tavasz

Változat

(10+5 pont)

Készítsen helyettesítési szabályt, amely tetszőleges {x,y} számpárra lin-log transzformációt  ({lg(x), lg(y)}) hajt végre. Ellenőrizze a transzformáció végrehajthatóságát a minta leírásánál. 
Alkalmazza a kapott szabályt 100  db véletlen számokból álló számpáron.

(5+10 pont)

Az                  A=(({{k, 1, 1}, {1, k, k}, {1, k, 0}})) 
mátrix egy lineáris transzformáció mátrixa  ((R^3)->(R^3)).  A k paraméter mely értéke esetén lesz a transzformáció nemszinguláris. Mennyi a deteermináns értéke ezekben az esetekben.  (5 pont)

Ábrázolja a transzformáció sajátvektorait adott paraméterek mellett.  (Manipulate) (10 pont)

(10+15 points)

Tekintsük az alábbi iterációt (populáció növekedése):

(Subscript[x, n+1]):=a (Subscript[x, n])(1-(Subscript[x, n-1])), ahol
a:növekedési ráta

Definiálja az iterálandó leképezést (2D iteráció az  {(Subscript[x, n]),(Subscript[x, n+1])} párokra, és két kezdőérték szükséges).
Adott a=1.7 és   a=2.1 paraméterérték mellett végezze el az iterációt különböző kezdőértékek esetén. Ábrázolja a kapott pontokat. határozza meg az iteráció fixpontját.  (10 pont).
Végezze el a fenti feladatokat, dinamikusan változtatva a paramétert és a kezdeti értékeket (Manipulate). 15 pont

(5+10+5+15 pont)

Tekintsük az

p'=p(2-p)-0.5p,     
p ≥0

modellt, ami egy adott faj szaporodását írja le.  Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja az iránymezőt az egyensúlyi helyzetekkel. A kapott ábrák alapján jellemezze az egyensúlyi helyzeteket. (5 pt).
Oldja meg a rendszert különböző (a vektormező viselkedése alapján választott) kezdeti értékekből (legalább három). Ábrázolja a megoldásokat. Színezze a görbéket a p(t) értékeknek megfelelően.   (10 pt)
Tekintsük az általánosabb

p'=k p(2-p)-e p

modellt, amelyben k,e>0  (szaporodási, kihalási ráták). Adjon feltételt, hogy létezzen a rendszernek pozitív egyensúlyi helyzete. (5 pt). Készítsen dinamikus alkalmazást Manipulate-tel, amiben a paraméterek változtathatók, az iránymező és az egyensúlyi helyzetek változnak a paraméterek függvényében.

Változat (nem matematikusoknak)

(10+5 pont)

Készítsen helyettesítési szabályt, amely tetszőleges {x,y} számpárra lin-log transzformációt  ({x, lg(y)}) hajt végre. Ellenőrizze a transzformáció végrehajthatóságát a minta leírásánál. 
Alkalmazza a kapott szabályt 100  db véletlen számokból álló számpáron.

(10+15 points)

Tekintsük az ún. Ricker rendszert (szaporodás):

(Subscript[x, n+1]):=(Subscript[x, n])(e^(r(1-(Subscript[x, n])/K)))
ahol 
	K: a környezet eltartó képessége
	r: növekedési ráta

Definiálja az iterálandó leképezést.
Adott r=1, K=2 paraméterek mellett végezze el az iterációt megfelelő kezdőértékekből kiindulva. Ábrázolja a kapott pontokat. határozza meg az iteráció fixpontját.  (10 pont).
Végezze el a fenti feladatokat, dinamikusan változtatva a paramétert és a kezdeti értékeket (Manipulate). 15 pont

(5+10+5+15 pont)

Tekintsük az

p'=p(3-p)-0.5,     
p ≥0

modellt, ami egy adott faj szaporodását írja le.  Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja az iránymezőt az egyensúlyi helyzetekkel. A kapott ábrák alapján jellemezze az egyensúlyi helyzeteket. (5 pt).
Oldja meg a rendszert különböző (a vektormező viselkedése alapján választott) kezdeti értékekből (legalább három). Ábrázolja a megoldásokat. Színezze a görbéket a p(t) értékeknek megfelelően.   (10 pt)
Tekintsük az általánosabb

p'=k p(3-p)-e

modellt, amelyben k,e>0  (szaporodási, kihalási ráták). Adjon feltételt, hogy létezzen a rendszernek pozitív egyensúlyi helyzete. (5 pt). Készítsen dinamikus alkalmazást Manipulate-tel, amiben a paraméterek változtathatók, az iránymező és az egyensúlyi helyzetek változnak a paraméterek függvényében.