2. Dolgozat - 2013. tavasz

Változat

(10+10 pont)

Készítsen helyettesítési szabályt, ami felismer egy kettő numerikus elemből álló vektort, és a vektor hossza nagyobb 1-nél. A szabály vegye koordináták köbét. (10 pt)
Alkalmazza a szabályt az {2cos t, 0.5sin t} ellipszis pontjaira a t= k π/16 értékek esetén. Ábrázolja az eredeti és a kapott pontokat. (10 pt)

(10+10+5 pont)

Tekintsük az alábbi versengést leíró modellt ((Subscript[p, 1]): 1. faj, (Subscript[p, 2]): 2. faj )
 (Subscript[p, 1])' =(Subscript[p, 1])(2-(Subscript[p, 1]))- 0.2 (Subscript[p, 1])(Subscript[p, 2]),
(Subscript[p, 2])'=0.5(Subscript[p, 2])(1-(Subscript[p, 2]))+0.1 (Subscript[p, 1])(Subscript[p, 2])
ahol 0≤(Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2]).
Határozza meg az egyesúlyi helyzeteket. Ábrázolja a vektormezőt  és az egyensúlyi pontokat a  ((Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2])) fázistérben. (5 pt)
Határozza meg a (Subscript[p, 1])(0)=0.1, 2.2, (Subscript[p, 2])(0)=0.1,1.5 kezdeti értékekből induló megoldásokat (numerikus!) Ábrázolja a megoldások  koordinátáit ((Subscript[p, 1])(t), (Subscript[p, 2])(t)) az idő függvényében, és ((Subscript[p, 1])(t),(Subscript[p, 2])(t)) trajektóriákat 2D fázistérben (10 pt). Színezze a trajektóriákat az időnek megfelelően.  (5 pt)

(10+10+10 pont)

Tekintsük a következő iterációt (Mandelbrot leképezés)

{(Subscript[x, n+1]),(Subscript[y, n+1])}:={((Subscript[x, n])^2)- ((Subscript[y, n])^2)+p,2(Subscript[x, n])(Subscript[y, n  ])+q}

ahol p=0.005, q=0.61. Adja meg az elemi lépést megadó leképezést. Végezzen iterációt a {0,0},{0.4,0},{0,0.4},{0.4,0.4} kezdeti értékekből. Ábrázolja a kapott megoldások (pontsorozatok) koordinátáit az időnek megfelelően, valamint a trajetóriákat ({(Subscript[x, n]),(Subscript[y, n])} pontsorozatok) .  (10 pt)
Színezze a pontokat az időnek megfelelően (ehhez az egyenlet bővítése szükséges a (Subscript[t, n]) koordinátával (10 pt).
Készítsen dinamikus alkalmazást, amelyben a kezdőpont az origó,  a p éés q paraméterek interaktívan változtathatók (0≤p≤0.15; 0≤q≤0.6). (10 pt)

Változat

(10+10 pont)

Készítsen helyettesítési szabályt, ami felismer egy kettő numerikus elemből álló vektort, amelynek második koordinátája nullától különbözik. A szabály vegye az első koordináta köbét, a másodiknak a reciprokát. (10 pt)
Alkalmazza a szabályt az {cos t, sin t} egységkör pontjara a t= k π/16 értékek esetén. Ábrázolja az eredeti és a kapott pontokat. (10 pt)

(10+10+5 pont)

Tekintsük az alábbi ragadozó-áldozat modellt ((Subscript[p, 1]): áldozat, (Subscript[p, 2]): ragadozó )
 (Subscript[p, 1])' =0.5(Subscript[p, 1])(1-0.5(Subscript[p, 1]))- 0.5 (Subscript[p, 1])(Subscript[p, 2]),
(Subscript[p, 2])'=-0.1(Subscript[p, 2])+0.2 (Subscript[p, 1])(Subscript[p, 2])
ahol 0≤(Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2]).
Határozza meg az egyesúlyi helyzeteket. Ábrázolja a vektormezőt  és az egyensúlyi pontokat a  ((Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 2])) fázistérben. (5 pt)
Határozza meg a (Subscript[p, 1])(0)=0.5, 1, (Subscript[p, 2])(0)=1,1.5 kezdeti értékekből induló megoldásokat (numerikus!) Ábrázolja a megoldások  koordinátáit ((Subscript[p, 1])(t), (Subscript[p, 2])(t)) az idő függvényében, és ((Subscript[p, 1])(t),(Subscript[p, 2])(t)) trajektóriákat 2D fázistérben (10 pt). Színezze a trajektóriákat az időnek megfelelően.  (5 pt)

(10+10+10 pont)

Tekintsük a következő differenciaegyenletet (Henon leképezés):

{(Subscript[x, n+1]),(Subscript[y, n+1])}:={(Subscript[y, n])+1-1.4 ((Subscript[x, n])^2),0.3(Subscript[x, n])}

Adja meg az elemi lépést megadó leképezést. Végezzen iterációt a {1,0},{1,1},{0,1},{0,0} kezdeti értékekből. Ábrázolja a kapott megoldások (pontsorozatok) koordinátáit az időnek megfelelően, valamint a trajetóriákat ({(Subscript[x, n]),(Subscript[y, n])} pontsorozatok) .  (10 pt)
Színezze a pontokat az időnek megfelelően (ehhez az egyenlet bővítése szükséges a (Subscript[t, n]) koordinátával (10 pt).
Készítsen dinamikus alkalmazást, amelyben a kezdőpont interaktívan változtatható. (10 pt)