2. Dolgozat - 2012. ősz

Változat

(5+5 pont)

Készítsen helyettesítési szabályt, ami egy tetszőleges Descartes coordinátarendszerben adott {x,y,z} pontot polár kooordinátás alakba konvertál.
Próbaként alkalmazza a szabályt az egységsugarú gömbön felvett 100 pontból álló lista elemeire.
Ábrázolja az eredeti és képpontokat.

(5 points)

Készítsen programot, ami kiszámítja egy n × n-es mátrix mellékátlójában levő elemek összegét. 
Alkalmazza a programot egy 3x3-as és egy 15x15-ös mátrixra.

(15 pont)

Tekintsük az

(Subscript[p, 1])' =-2 (Subscript[p, 1]),
(Subscript[p, 2])'=2(Subscript[p, 1])-(Subscript[p, 2]), 
rendszert (0≤(Subscript[p, 1]), (Subscript[p, 2])), amely gyógyszerfelszívódást ír le.
Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja a vektormezőt ((Subscript[p, 1]), (Subscript[p, 2])). 
Keresse meg a rendszer szimbolikus megoldását, ha (Subscript[p, 1])(0)=p0>0, (Subscript[p, 2])(0)=0. Ábrázolja a megoldás koordinátáit, és keresse meg azok szélsőértékeit.
Adja meg és ábrázolja a (Subscript[p, 2])(t) érintőjét a t=0 helyen.

(15 pont)

Készítsen programot a síkbeli Brown mozgásra. Adott P pontból az elmozdulás tetszőleges irányba történhet, de az elmozdulás nagysága legyen (1/(1+|P((|)^2))) .

Adja meg az elemi lépést megadó leképezést. Iterálja a leképezést valamely kezdeti pontból. Ábrázolja a mozgást.

Változat

(5+5 pont)

Készítsen helyettesítési szabályt, ami egy tetszőleges Descartes coordinátarendszerben adott {x,y,z} pontot hengerkoordinátás alakba konvertál.  
Próbaként alkalmazza a szabályt az egységsugarú hengeren felvett 50 pontból álló lista elemeire.
Ábrázolja az eredeti és képpontokat.

(5 pont)

Készítsen programot, ami kiszámítja egy n × n-es mátrix L1 normáját (az oszlopok elemei abszolút értéke összegének a maximuma). Alkalmazza a programot egy 3x3-as és egy 10x10-es mátrixra.

(15 points)

Tekintsük az alábbi nemlineáris rezgést:

x''+0.2 (((x'))^3) + (x^3)=0

alakítsuk át az egyenletet rendszerré az y=x', x''=y'=... helyettesítést alkalmazva. Ábrázoljuk a rendszerhez tartozó vektormezőt az {x,y} fázistérben és a {t,x,y} kibővített fázistérben.  Oldja meg az egyenletet x(0)=0,  y(0)=0.2, 0.4,..., 2  kezdeti értékekből.
Ábrázolja a megoldások trajektóriáit az (x,y) fázistérben. A színezés történjen a t idő szerint.

(15 pont)

Adja meg az
{(Subscript[x, n+1]),(Subscript[y, n+1])}={(Subscript[x, n])+0.1(Subscript[y, n]) ,0.95(Subscript[y, n])-0.1sin((Subscript[x, n]))}
differenciaegyenlet (Subscript[x, 0])=0, (Subscript[y, 0])=1 kezdeti pontból induló megoldását.

Adja meg az elemi lépést megadó leképezést. Iterálja a leképezést a megfelelő kezdőértékkel.
 Ábrázolja a mozgást.