2. Dolgozat
2011-2012 tanév, Ősz

Változat

(5 pont)

Készítsen helyettesítési szabályt, ami 3 x 3-as (3 sor, 3 oszlop) mátrixot ismer fel és a mátrixot helyettesíti a sorvektorok  súlypontjával.

(5 points)

Tekintsük az (általános) n-változós függvényt: F: (R^n)->R . Készítsen függvényeket, ami kiszámítja a függvény gradiensét, és annak divergenciáját egy adott pontban. Adjon példát.

(15 points)

Írjon programot, ami listában megadja egy szabályos, origó középpontú n-szög csúcsait (a csúcsok az egységkörön helyezkedjenek el), az összekötés sorrendjében
Ábrázolja a csúcsokat.
A listában adott csúcsok alapján rajzolja meg a sokszög éleit.
Továbbá rajzolja meg a sokszög átlóit.

(15 pont)

Tekintsük az

x'=x(1-x)-c x y, 
y'=y(1-0.5y)-d x y,     
(x,y ≥0)

modellt fajok versengésére. Legyen c=2, d=3. Határozza meg az egyensúlyi helyzetet. Oldja meg a rendszert különböző (a vektormező viselkedése alapján választott) kezdeti értékből. Ábrázolja a trajektóriákat, a vektormezőt és a megoldások koordinátáit. 
Készítsen interaktív demonstrációt (Manipulate) amelyben a kezdeti értékek interaktív módon változnak.

(10 pont)

Készítsen programot a NestList utasítás felhasználásával, ami elkészíti az alábbi lánctörtet közelítő sorozatot:

(1/(2+(1/(2+(1/(2+...))))))

Adja meg az iterálandó leképezést. Határozza meg a lánctört értékét (az iteráció határértékét). 
Ábrázolja az iteráció során kapott {n, (Subscript[x, n])} pontokat.

Változat

(5 pont)

Készítsen helyettesítési szabályt, ami 3 x 2 (3 sor, 2 oszlop) mátrixot ismer fel és a mátrixot helyettesíti az oszlopok vektoriális szorzatával.

(5 pont)

Tekintsük az

f((Subscript[x, 1]),...,(Subscript[x, n])): (R^n)->(R^n),

kifejezést (azazf((Subscript[x, 1]),...,(Subscript[x, n]))={(Subscript[f, 1])((Subscript[x, 1]),...,(Subscript[x, n])),(Subscript[f, 2])((Subscript[x, 1]),...,(Subscript[x, n])), ... ,(Subscript[f, n])((Subscript[x, 1]),...,(Subscript[x, n]))}). Határozza meg a függvény derivált mátrixát, és divergenciáját egy adott pontban. Adjon konkrét példát.

(15 points)

Írjon programot, ami listában megad n darab véletlenszerűen kiválasztott pontot az egységkockában.

Rajzolja meg a pontokat.

Adja meg az egymás után következő pontokat összekötő szakaszokat. Rajzolja meg ezeket.

Továbbá rajzolja meg az origóból a pontokhoz induló vektorokat.

(15 points)

Tekintsük a van der Pol oszcillátort:

x''+ϵ (1- (x^2)) x' + x=0

alakítsuk át az egyenletet rendszerré az y=x', x''=y'=... helyettesítést alkalmazva. Legyen ϵ=0.5 . Ábrázoljuk a rendszerhez tartozó vektormezőt és a megoldások trajektóriáit az (x,y) fázistérben. A megoldások induljanak az x(0)=0,  y(0)=0.2, 0.4,..., 2  kezdeti értékekből. 
Készítsen interaktív demonstrációt (Manipulate) amelyben az ϵ>0 valamint a kezdeti értékek interaktív módon változnak.

(10 points)

Végezze el a következő iterációt (NestList):

(Subscript[x, n+1])=(1/(Subscript[x, n]))+((Subscript[x, n])/2).

Adja meg az iterálandó leképezést. Ábrázolja az {n,(Subscript[x, n])} pontokat.  Mi az iteráció határértéke  (fixpont)?