1. Dolgozat - 2013. tavasz

Változat

(5 pont)

Készíts függvényt, ami 2-periodikus folytatása az (x^2) függvénynek (|x|≤1).
Ábrázold a függvényt valamely kellően nagy szakaszon.

(5+5+5+10 pont)

Ábrázold a  h(x)=sin(x) cos((x^2)) függvényt a [-π,π] intervallumon, úgy hogy az y-range kellően nagy legyen, és a tengelyek léptéke legyen azonos. Színezd a grafikont a második derivált értékének megfelelően.

Határozd meg a függvény szélsőértékeit az adott intervallumon.

Rajzold be a megfelelő pontokat a grafikonon.

Rajzold meg a függvény grafikonjához húzott érintőket a függvény zétóhelyeiben.

(10+5 points)

A k paramétertől függő A mátrix
A=(({{k, 1, 1}, {1, k, k}, {1, k, 0}})) 
egy lineáris tanszformáció ((R^3)->(R^3))mátrixa. Készíts Manipulate-tel alkalmazást, amiben ábrázolod a bázisvektorok és az egységgömb képét. (10 pont)

Határozd meg és ábrázold a sajátvektorokat. Igazold, hogy a sajátvektorok ortogonálisak (5 pont)

(15 pont)

Készíts interaktív alkalmazást, amelyben az

c(t_) := {sin(t), cos(3 t), Sin(2t)})

paraméteres görbén folyamatosan változtatható paraméterértéknél ábrázolod a görbe kísérő triéderét (c', c'', c'×c'' vektorok).

Változat

(5 pont)

Készíts f(x) függvényt, ami tetszőleges intervallumra “reciprok-periodikus” folytatása az 1+4(x(1-x) függvénynek (0≤x≤1) a [0,∞) intervallumra, azaz f(x)=1/f(x-1) ha x>1. Ábrázold a függvényt valamely kellően nagy szakaszon.

(5+5+5+10 pont)

Ábrázold a  h(x)=(x-1)(x+2)sin((x^2))  függvényt a [-π,π] intervallumon, úgy hogy az y-range kellően nagy legyen, és a tengelyek léptéke legyen azonos. Színezd a grafikont az első derivált értékének megfelelően.

Határozd meg a függvény zéróhelyeit az adott intervallumon.

Rajzold be a megfelelő pontokat a grafikonon.

Rajzold meg a függvény grafikonjához húzott érintőket az inflexiós pontokban.

(5+10 pont)

A k mely értékei mellett lesznek az 
A=(({{k, 1, 1}})) , 
B=(({{1, 0, k}})) ,
C=(({{1, k, 0}})) ,
vektorok lineáisan függőek? Ekkor mennyi a kifeszített tér dimenziója?

Definiáljunk lineáris transzformációt ((R^3)->(R^3)) úgy, hogy fenti vektorok a bázisvektorok képei. Mi lesz a transzformáció mátrixa? Készíts Manipulate-tel alkalmazást, amiben ábrázolod a bázisvektorok és az egységgömb képét. (10 pont)

(15 pont)

Készíts interaktív alkalmazást, amely ábrázolja az

{(cos(u)+2) cos(v),(cos(u)+2) sin(v),sin(u)}

tórusz adott paraméterértékekhez tartozó pontján átmenő a paraméterekhez tartozó szintvonalak érintővektorait, illetve a felület normálvektorát. A paraméterek legyenek folyamatosan változtathatóak.