2. Dolgozat: 2010 - 2011 tanév, Ősz

Változat

(20 pont)

Írjon programot az alábbi iterációra:

(Subscript[X, n+1])=(Subscript[Y, n])+1+a (Subscript[X, n]^2)
(Subscript[Y, n+1])=b (Subscript[X, n]),

ahol (Subscript[X, 0])=(Subscript[Y, 0])=0, és a=1.4, b=0.3. Ábrázolja az iteráció eredményét a síkon. Készítsen interaktív demonstrációt, amelyben a paraméterek változtathatók.

(20 pont)

Ábrázolja a

c(t)={cos(t),sin(3t),sin(2t)}

görbe pontjaihoz tartozó érintővektorokat és a normálsíkokat. Változtassa a görbe pontját interakívan.

(25 pont)

Tekintsük az

x'=x(1-x)-x y, 
y'=y(1-0.5y)- 2x y,     
x,y ≥0

modellt fajok versengésére. Határozza meg az egyensúlyi helyzetet. Oldja meg a rendszert különböző (a vektormező viselkedése alapján választott) kezdeti értékből. Ábrázolja a trajektóriákat, a vektormezőt és a megoldások koordinátáit. Vizsgálja meg az egyensúlyi helyzet stabilitását a linearizálás segítségével.

(15 pont)

Az általánosabb

x'=(Subscript[k, 1]) x(1-(x/(Subscript[N, 1])))- (Subscript[c, 1]) x y,
 y'=(Subscript[k, 2]) y(1-(y/(Subscript[N, 2])))- (Subscript[c, 2]) x y,  
   x,y ≥0

rendszer esetén a paraméterek interaktív változtatásával ábrázolja a vektormezőt és az egyensúlyi helyzeteket.

Változat

(10 pont)

Add meg az f[x,y]=Cos[x] Cos[y] Sin[x-y]  kétváltozós függvény minumumát és maximumát a [-π/2,π/2]x[-π/2,π/2] intervallumon. Hol veszi fel a minimumot és maximumot a téglalapon? Vizsgáljuk a kritikus pontokat. Készítsünk ábrát/ábrákat!

f[x_,y_]:=Cos[x] Cos[y] Sin[x-y]

(8 pont)

Add meg az alábbi ODE általános megoldását! 
(x^2)y''-3x y'=-4y
Add meg az alábbi KÉP megoldását és ábrázold a megoldásgörbét [0,5/2]-n!
 8y'=1+(y^3),y[0]=1

(12 pont)

Tekintsük az alábbi egyparaméteres (α)  differenciálegyenletes-modellt:
 x1'=α x1-x2-x1 ((x1^2)+(x2^2)), x2'=x1+α x2-x2 ((x1^2)+(x2^2)) Keresd meg az egyensúlyi helyzetet. Oldd meg a rendszert, ha  α=0.5, x2(0)=x1(0)  és x1(0)=1.
Ábrázold a vektormezőt, a megoldást és trajektóriát (statikus). 
Készíts  2D-s interaktív ábrát, ahol az α paraméter 
egy 1D-s csúszkán adott [-1,1], s α aktuális értékének megfelelôen változik a vektormezô ill. a (.01, .01)-bôl induló trajektória !

Clear[f1,f2]

f1[x1_,x2_,α_]:=α x1-x2-x1 ((x1^2)+(x2^2));
f2[x1_,x2_,α_]:=x1+α x2-x2 ((x1^2)+(x2^2));

Solve[{f1[x1,x2,α]==0,f2[x1,x2,α]==0},{x1,x2}]

Tehát a (0,0) az egyetlen egyensúlyi helyzet

(12 pont)

A. Legyen (Subscript[L, 2])[x]=r x (1-(x^2))

Add meg az  {((Subscript[L, 2])^((k)))} iteráltsorozat elsô 8 elemét, ha
r=1, x0=1/4

Add meg a fixpontokat, ha r=4!

Konstruálj meg két, pozitív elembôl induló, az alábbi alakkal rendelkezô preciklikus pályát, ha r=3. (Tipp: Reduce)



B. Alkalmazd a Newton-Raphson iterációt a komplex ötödik egységgyökök közelítésére! Adj meg kezdôpontok olyan véges sorozatát, ahonnan az iterációt indítva mind a 4 komplex ötödik egységgyök 'elérhetô'.

L2[x_]:=r*x*(1-x^2)

(8 pont)

Definiáld az alábbi rekurziót a Mathematica-ban:
a(n+2)-4a(n+1)+4a(n)=0, a(1)=2, a(2)=3.

Oldd meg a differenciaegyenletet és add meg a köv. limeszt: lim (Subscript[a, n+1])/(Subscript[a, n]).