2. Dolgozat, 2009 - 2010 tanév, Ősz

Változat

(20 pont)

Készítsen programot a szelő módszerrel való zéróhelykeresésre a Nest (NestList) függvénnyel. 
Tekintsük az f(x) függvényt. Az (Subscript[x, 1]) és (Subscript[x, 2]) kezdőértékekkel vegyük az {(Subscript[x, 1]),f((Subscript[x, 1]))} és {(Subscript[x, 2]),f((Subscript[x, 2]))} pontokon átmenő szelő zéróhelyét és ez legyen (Subscript[x, 3.]) Majd az  (Subscript[x, 2]) és (Subscript[x, 3]) pontokból képezzük (Subscript[x, 4])-t, és így tovább. Folytassa az iterációt egészen addig amíg |f((Subscript[x, x]))| < ϵ nem teljesül. Ábrázolja az iterációt a grafikonon. Készítsen interaktív ábrázolást  a kezdeti értékek dinamikus változtatásával.

Segítség: az iterációban célszerű az {(Subscript[x, n-1]),(Subscript[x, n])} párokat tekinteni.

(15 pont)

Ábrázolja a

c(t)={sin(3t),cos(t), sin(5t)}

paraméteres görbe pontjaihoz kísérő triédert (c'(t),c''(t),c'(t)×c''(t)) . Készítsen interaktív illusztrációt a téma oktatásához.

(20 pont)

Tekintsük az

x'=2x-x y, 
y'=-y+ x y,    
 x,y ≥0

ragadozó-zsákmány modellt. Határozza meg az egyensúlyi helyzetet. Oldja meg a rendszert valamely kezdeti értékből és ábrázolja a megoldást. Készítsen interaktív illusztrációt a kezdeti érték változtatásával. Ábrázolja a trajektóriákat, a vektormezőt és a megoldások koordinátáit. Vizsgálja meg az egyensúlyi helyzet stabilitását a linearizálás segítségével.

(10 pont)

Az általánosabb

x'=(Subscript[k, 1]) x(1-(x/(Subscript[N, 1])))- x y, 
y'=-(Subscript[k, 2]) y -(Subscript[e, 2])(y^2)+ x y,     
x,y ≥0

rendszer esetén a paraméterek interaktív változtatásával ábrázolja a vektormezőt és az egyensúlyi helyzeteket.

Változat

(20 pont)

Tekintsük a következő véletlen mozgást a síkon. Mozogjon a részecske valamely (Subscript[P, 0]) pontból véletlen irányban a (Subscript[P, 1]) pontba úgy, hogy a lépés nagysága (1/(1+||(Subscript[P, 0])((||)^2))), ahol  ||(Subscript[P, 0])|| a (Subscript[P, 0]) pont origótól való távolsága. Írjon függvényt a mozgás megvalósítására. Iterálja az eljárást. Készítsen interaktív illusztrációt a mozgás bemutatására, amelyben a kezdőpont dinamikusan változik.

(15 pont)

Ábrázolja az (x^2)-(y^2) függvény grafikonjának adott irány menti deriváltját illusztráló érintvektorát és a normál vektort. Készítsen interkatív illusztrációt a téma oktatásához.

(20 pont)

Tekintsük az

(({{x'}, {y'}}))=(({{1, 0}, {-3, -1}})).(({{x}, {y}}))

lineáris rendszert. Határozza meg mátrix sajátértékeit, sajátvektorait, valamint a rendszer sajátvektorokhoz tartozó megoldásait. Oldja meg a rendszert valamely kezdeti értékből és ábrázolja a megoldást. Készítsen interaktív illusztrációt a kezdeti érték változtatásával. Ábrázolja a trajektóriákat, a vektormezőt és a megoldások koordinátáit.

(10 pont)

Az általánosabb

(({{x'}, {y'}}))=(({{1, a}, {b, c}})).(({{x}, {y}}))

rendszer esetén a paraméterek interaktív változtatásával ábrázolja a vektormezőt és a rendszer sajátirányait.

Változat

(12 pont)

Tekintsük a következő ragadozó-áldozat modellt:

x'=x-x y,
y'=-y+ x y,
x,y ≥0.

keresd meg az egyensúlyi helyzetet. Oldd meg a rendszert az x(0), y(0) kezdeti adatokkal, úgy hogy y(0)=x(0)  és  x(0)=0.1, 0.2,...,0.9,1. Ábrázold a vektormezőt, a megoldásokat és trajektóriákat (statikus). Készíts 3D-s interaktív ábrát az első KÉP megoldásához. Az 1D-s csúszkán legyen adott az idő (t), a térbeli megoldásgörbén pedig egy színezett pont mutassa az aktuális (x(t),y(t)) értékeket!

(12 pont)

Készítsd el a következő fraktál-alakzatot, készíts animációt! (Tipp: forgatás nélkül is meg lehet oldani, u-nak 4 eleme van.)

ob0={Polygon[{{0,0},{1,0},{1,1},{0,1}}]}

Graphics[ob0]

NewAutonomR[obj_,α_,c_]:=obj/.Polygon[u_List]:>
Sequence[
Polygon[],
Polygon[]
]

(12 pont)

Legyen (Subscript[L, 2])(x)=r x (1-(x^2)). Add meg a következő iteráltsorozat első 8 elemét:

r=2,
(Subscript[x, 0])=(1/2).

Add meg a fixpontokat, ha r=2! Konstruálj meg két, pozitív elemből induló, az alábbi alakkal rendelkező preciklikus pályát, ha r=3.

Alkalmazd a következő iterációt a (a^(1/k))   közelítésére:

(Subscript[x, n+1])=(a/(k ((Subscript[x, n])^(k-1))))+ (Subscript[x, n])(1-(1/k)).

Vezesd le ezt a képletet az általános Newton-Raphson iterációból, alkalmazd a képletet (7^(1/3)) közelítésére! Vesd össze a negyedik iteráltat a (7^(1/3))built–in közelítésével!

(7 pont)

Definiáld az alábbi rekurziót a Mathematica-ban:

a(n+2)-4a(n+1)+4a(n)=0, 
a(1)=2, 
a(2)=3.

Oldd meg a differenciaegyenletet és add meg a következő limeszt: lim (Subscript[a, n+1])/(Subscript[a, n]).

(7 pont)

Adjuk meg az

f(x,y)=cos(x) cos(y) sin(x-y)

kétváltozós függvény minumumát és maximumát a [-π/2,π/2]x[-π/2,π/2] intervallumon. Hol veszi fel a minimumot és maximumot a téglalapon? Vizsgáljuk a kritikus pontokat. Készítsünk ábrát/ábrákat!

Változat

(12 pont)

Tekintsük az alábbi egyparamétertes (α) differenciálegyenletes-modellt:

(Subscript[x, 1])'=α (Subscript[x, 1])-(Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 1]) (((Subscript[x, 1])^2)+((Subscript[x, 2])^2)),
(Subscript[x, 2])'=(Subscript[x, 1])+α (Subscript[x, 2])-(Subscript[x, 2]) (((Subscript[x, 1])^2)+((Subscript[x, 2])^2)).

Keresd meg az egyensúlyi helyzetet. Oldd meg a rendszert, ha α=0.5, y(0)=x(0)  és  x(0)=1. Ábrázold a vektormezőt, a megoldást és trajektóriát (statikus). Készíts 2D-s interaktív ábrát ahol az α paraméter egy 1D-s csúszkán adott [-1, 1], s α aktuális értékének megfelelően változik a vektormező illetve az (.01, .01)-ből induló trajektória!

(12 pont)

Készítsd el a következő fraktál-alakzatot, készíts animációt! (Tipp: nem kell forgatni, u-nak 3 eleme van.)

ob0={Polygon[{{0,0},{1,0},{1/2,Sqrt[3]/2}}]}

Graphics[ob0]

NewAutonomT[obj_,α_,c_]:=obj/.Polygon[u_List]:>
Sequence[Polygon[],
Polygon[],
Polygon[]
]

(12 pont)

Legyen L[x]=r x (1-x). Add meg a következő iteráltsorozat első 8 elemét:

r=2,
(Subscript[x, 0])=(3/8).

Add meg a fixpontokat, ha r=2! Konstruálj meg két, pozitív elemből induló, az alábbi alakkal rendelkező ciklikus pályát, ha r=4. (Tipp: Reduce)

Alkalmazd a következő iterációt a (a^(1/k))  közelítésére:

(Subscript[x, n+1])=(a/(k ((Subscript[x, n])^(k-1))))+ (Subscript[x, n])(1-(1/k)).

Vezesd le ezt a képletet az általános Newton-Raphson iterációból, majd alkalmazd a képletet (5^(1/4)) közelítésére. Vesd össze a negyedik iteráltat a (5^(1/4))built–in közelítésével!

(7 pont)

Definiáld az alábbi rekurziót a Mathematica-ban:

a(n+2)-a(n+1)-3a(n)=0,
a(1)=1,
a(2)=2.

Oldd meg a differenciaegyenletet és add meg a következő limeszt: lim (Subscript[a, n+1])/(Subscript[a, n]).

(7 pont)

Adjuk meg az

f(x,y)=sin(x) sin(y) sin(x+y)

kétváltozós függvény minumumát és maximumát a [0,π]x[0,π] intervallumon. Hol veszi fel a minimumot és maximumot a téglalapon? Készítsünk ábrát/ábrákat!

Változat

(12 pont)

Tekintsük a következő egyparaméteres differenciálegyenletes modellt:

ϕ'=ω, 
ω'=-g/l sin(ϕ),     l>0, 
g=9.81.

Keresd meg az egyensúlyi helyzetet. Oldd meg a rendszert az ϕ(0), ω(0) kezdeti adatokkal, ha (Subscript[l, 0])=2,ϕ(0)=0  és  ω(0)=3. Ábrázold a vektormezőt, a megoldásokat és trajektóriákat (statikus). Készíts 2D-s interaktív ábrát, ahol az l paraméter egy 1D-s csúszkán adott [2,6], s l aktuális értékének megfelelően változik a vektormező illetve a (0, 3)-ből induló trajektória!

(12 pont)

Készítsd el a következő fraktál-alakzatot, készíts animációt! (Tipp: forgatás nélkül is  meg lehet oldani, u-nak 4 eleme van)

ob0={Polygon[{{0,0},{1,0},{1,1},{0,1}}]}

Graphics[ob0]

NewAutonomR[obj_,α_,c_]:=obj/.Polygon[u_List]:>
Sequence[
Polygon[],
Polygon[]
]

(12 pont)

Legyen (Subscript[L, 2])[x]=r x (1-(x^2)). Add meg a következő iteráltsorozat első 8 elemét:

r=1, 
(Subscript[x, 0])=(1/4).

Add meg a fixpontokat, ha r=4!

Konstruálj meg két, pozitív elemből induló, az alábbi alakkal rendelkező preciklikus pályát, ha r=3. (Tipp: Reduce)

Alkalmazd a Newton-Raphson iterációt a komplex ötödik egységgyökök közelítésére. Adj meg kezdőpontok olyan véges sorozatát, ahonnan az iterációt indítva mind a 4 komplex 'elérhető'.

(7 pont)

Definiáld az alábbi rekurziót a Mathematica-ban:

27 a(n+3)-54a(n+2)+36a(n+1)-8a(n)=0 (n>0),
a(1)=1, 
a(2)=2, 
a(3)=3.

Oldd meg a differenciaegyenletet és add meg a következő limeszt: lim (Subscript[a, n+1])/(Subscript[a, n]).

(7 pont)

Add meg az

f(x,y)=9x y(Sqrt[1-(x^2)-3(y^2)])

kétváltozós függvény minumumát és maximumát. Vizsgáljuk a kritikus pontokat. Készítsünk ábrát/ábrákat!