2. Dolgozat
2008 - 2009 tanév, Ősz

Változat

Válassz ki HÁROM FELADATOT AZ ALÁBBIAK KÖZÜL. Oldd meg őket.

(20 pont)

Alkalmazd a következő logisztikus iterációt:

(Subscript[x, n+1])=a (Subscript[x, n])(1-(Subscript[x, n])),

ahol 0<a<4, x ϵ [0,1]. (5 pont)

Készíts pókhálódiagramot az iteráció illusztrálására. Változtasd a paramétert és a kezdti értéket. Az (Subscript[x, n+1])=f((Subscript[x, n])) iteráció pókáló diagramja az y=x  egyenest és az f(x) grafikonját tartalmazó koordinátarendszerben készül. A következő pontokat kötjük ösze egyenes szakaszokkal:

{(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 0])}->{(Subscript[x, 0]),f((Subscript[x, 0]))}={(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 1])}->{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 1])}->{(Subscript[x, 1]),f((Subscript[x, 1]))}->{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])}...

Változtasd a kezdőértéket és a lépésszámot interaktív módon. (15 pont)

(20 pont)

Ábrázold az (x^4)-(y^(2 )) függvény grafikonjának pontjaihoz tartozó érintősíkot és a sík normál vektorát. Készíts interkatív illusztrációt a téma oktatásához.

(20 pont)

Készíts alkalmazást az (∫_a^b)f(x)dx integrál közelítésére a trapéz szabállyal:

h (0.5 f((Subscript[x, 0]))+f((Subscript[x, 1]))+...+f((Subscript[x, n-1])) +0.5f((Subscript[x, n])))

ahol (Subscript[x, i])=a+i h, és h=((b-a)/n). Készíts programokat a közelítés grafikus illusztrálására.

(20 pont)

Készíts alkalmazást a Ceiling[ -x/π] + x/π függvény Fourier-féle közelítésének illusztrálására. Ábrázold a közelítő összegek és az átlagolt összegek változását, a hiba alakulását.

Változat

Válassz ki HÁROM FELADATOT AZ ALÁBBIAK KÖZÜL. Oldd meg őket.

(20 pont)

Alkalmazd a következő iterációt a (a^(1/k)) közelítésére: (5 pont)

(Subscript[x, n+1])=(a/(k ((Subscript[x, n])^(k-1))))+ (Subscript[x, n])(1-(1/k)).

Készíts pókhálódiagramot az iteráció illusztrálására. Változtasd a paramétereket. Az (Subscript[x, n+1])=f((Subscript[x, n])) iteráció pókháló diagramja  az y=x  egyenest és az f(x) grafikonját tartalmazó koordinátarendszerben készül. A következő pontokat kötjük ösze egyenes szakaszokkal:

{(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 0])}->{(Subscript[x, 0]),f((Subscript[x, 0]))}={(Subscript[x, 0]),(Subscript[x, 1])}->{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 1])}->{(Subscript[x, 1]),f((Subscript[x, 1]))}->{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])}...

Változtasd a kezdőértéket és a lépésszámot interaktív módon. (15 pont)

(20 pont)

Ábrázold az (x^2)+(y^2) függvény grafikonjának parciális deriváltjait illusztráló érintvektorait és a normál vektort. Készíts interkatív illusztrációt a téma oktatásához.

(20 pont)

Oldd meg az

x'=f(t,x),
x((Subscript[t, 0]))=(Subscript[x, 0])

egydimenziós kezdeti-érték problémát az Euler féle közelítő módszerrel a  [(Subscript[t, 0]),T] intervallumon. Oszd a  [(Subscript[t, 0]),T] intervallumont n egyenlő részre, és legyenek (Subscript[t, 0]), (Subscript[t, 1]), ...,(Subscript[t, n])=T az osztópontok (h=(Subscript[t, i+1])-(Subscript[t, i])=((T-(Subscript[t, 0]))/n)). Közelítsd a megoldást a [(Subscript[t, 0]),(Subscript[t, 1])] szakaszon érintőjével: x=(Subscript[x, 0])+f((Subscript[t, 0]),(Subscript[x, 0]))(t-(Subscript[t, 0])). 
Legyen (Subscript[x, 1])=(Subscript[x, 0])+f((Subscript[t, 0]),(Subscript[x, 0]))h. Általában: (Subscript[x, i+1])=(Subscript[x, i])+f((Subscript[t, i]),(Subscript[x, i]))h. 
Készíts alkalmazást, amely elkészíti a {{(Subscript[t, 0]),(Subscript[x, 0])},...,{(Subscript[t, n]),(Subscript[x, n])}} sorozatot. Ábrázold a közelítő megoldást és hasonlítsd össze az NDSolve eredményével. Vizsgáld a lépésköztől való függést.

(20 pont)

Készíts alkalmazást a sin(x) függvény Talyor-féle közelítésének illusztrálására az (Subscript[x, 0])=(π/4). Ábrázold a közelítő összegek és az átlagolt összegek változását, a hiba alakulását.

Változat

(6 pont)

Használjuk a Mathematica-t az

a[n]=a[n-2]+3, 
a[1]=2,
a[2]=3

lineáris rekurzió megoldására (másodrendű lineáris rekurzió). Ábrázoljuk a sorozat néhány elemét színezéssel.

(6 pont)

Adjuk meg az

f(x,y)=sin(x)  sin(y) sin(x+y)

kétváltozós függvény minumumát és maximumát a [0,π]x[0,π] intervallumon. Hol veszi fel a minimumot és maximumot a téglalapon? Készítsünk ábrát/ábrákat!

(9 pont)

Adjuk meg az általános megoldását az

y '=tan(x)y+cos(x)

differenciálegyeneletnek. Ábrázoljunk néhány speciális megoldást az iránymezővel együtt (Manipulate).

(9 pont)

Forgassunk meg a L szakaszt a 3D-s térben az x tengely körül. Használjuk a Manipulate parancsot csúszkával a dinamikus illusztrációhoz!

L=Line[{{0,0,0},{0,2,0}}];

Show[Graphics3D[L],Boxed->False]

(9 pont)

Az alábbi  Lissajous görbéket ábrázoljuk a paraméterek függvényében. (Manipulate) és alkalmas Snapshottal mutassuk meg, hogy megfelelő paraméterérték választással elôáll a negyedfokú Chebyshev polinom is (x∈[-1,1]).

LCurves(t)=(x(t),y(t))=(Sin[a t+δ], Sin[b t])   (a,b,δ ∈ ℝ)

Hogyan lehetne ezt bizonyítani (Mathematica-val)? 
Hint: ?ChebyshevT[n,x]

*(10 pont)

Adott a a logiksztikus függvénycsalád (paraméter r).

Ábrázoljuk a Manipulate segítségével a függvény grafikonját a [0,1]-en a fixpontokkal együtt! (r∈(2,4); lépésköz legyen (1/4) pl.)

Legyen r=4 és adjuk meg a következő pontból az iterált sorozatot (első 9-10 elem elég).

(Subscript[x, 0])=((7+(Sqrt[5])+(Sqrt[6 (5+(Sqrt[5]))]))/16)

Ábrázoljuk is a sorozatot. Mit tapasztalunk?

f[x_,r_]:=r x (1-x)

x0=((7+(Sqrt[5])+(Sqrt[6 (5+(Sqrt[5]))]))/16);

Változat

(6 pont)

Adjuk meg az

f(x,y)=cos(x) cos(y)  sin(x-y)

kétváltozós függvény minumumát és maximumát a [-π/2,π/2]x[-π/2,π/2] intervallumon. Hol veszi fel a minimumot és maximumot a téglalapon? Készítsünk ábrát/ábrákat!

(6 pont)

Illusztráljuk a centrális hasonlóságot mint síkbeli geometriai transzformációt! A centrum legyen az origó és transzformáljuk a

(-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1)

négyzetet pl. Használjuk a Manipulate parancsot egy csúszkával pl.

?Rectangle

a=Graphics[{Red,Rectangle[{-1,-1},{1,1}]}]

(9 pont)

Ábrázoljuk azon P (x,y) pontok halmazát a síkon, amelyek kielégitik a

((((x^2)+(y^2)))^2)=4((x^2)-(y^2))

egyenletet (algebrai görbe). Határozzuk meg a görbén azokat a pontokat, ahol az érintő párhuzamos vagy merőleges az x tengellyel/tengelyre. Ábrázoljuk a görbével együtt az érintőegyeneseket.

(9 pont)

Adjuk meg az általános megoldását az

y '  =(4/x) y+x (Sqrt[y])

differenciálegyeneletnek. Ábrázoljunk néhány speciális megoldást az iránymezővel együtt (Manipulate).

(9 pont)

Az alábbi  Lissajous görbéket ábrázoljuk a paraméterek függvényében. (Manipulate) és alkalmas Snapshottal mutassuk meg, hogy megfelelő paraméterérték választása esetén előáll a negyedfokú Chebyshev polinom is (x∈[-1,1]).

LCurves(t)=(x(t),y(t))=(Sin[a t+δ], Sin[b t])   (a,b,δ ∈ ℝ)

Hogyan lehetne ezt bizonyítani (Mathematica-val)? 
Hint: ?ChebyshevT[n,x]

*(10 pont)

Adott a logiksztikus függvénycsalád (paraméter r).

Ábrázoljuk a Manipulate segítségével a függvény grafikonját a [0,1]-en a fixpontokkal együtt! (r∈(2,4); lépésköz legyen (1/4) pl.)

Legyen r=4 és adjuk meg a következő pontból az iterált sorozatot (első 9-10 elem elég):

(Subscript[x, 0])=((7+(Sqrt[5])+(Sqrt[6 (5+(Sqrt[5]))]))/16)

Ábrázoljuk is a sorozatot. Mit tapasztalunk?

f[x_,r_]:=r x (1-x)

x0=((7+(Sqrt[5])+(Sqrt[6 (5+(Sqrt[5]))]))/16);