1. Dolgozat
2010 - 2010 tanév, Ősz

Változat

(5 pont)

Készítsd el a következő függvény definícióját:

Ábrázold a függvényt a [-4,4] szakaszon, úgy hogy az x-tengely hossza legyen kétszerese az y-tengelynek. Színezd a grafikont az |x|+|y| értékeknek megfelelően.

(10 pont)

Készíts listát az

(1/(t+1)){sin(t), cos(t)}

görbe egyenletes paraméter-távolságban levő pontjaiból (t∈[0,4π]). Rajzold be az érintővektorokat minden pontban. Készíts manipulációt, amelyben a pont folytonosan változik.

(10 pont)

Alkalmazd a

{x,y}->(({{1, 1}, {k, -1}})) .(({{x}, {y}}))

transzformációt az egységkör pontjaira. Ábrázold a kört és képét, valamint a sajátvektorokat, úgy hogy változtasd k-t dinamikusan a Manipulate segítségével a [-1,1] intervallumon.

(10 pont)

Végezz grafikus vizsgálatokat az alábbi függvényen (grafikon, szintvonalak, parc. deriváltak, stb.). Határozd meg a szélsőértékeket és nyeregpontokat. Jelöld be a pontokat a grafikonon.

f(x_,y_):=(1.5^(-2 (Sqrt[(x^4)+(y^2)])+0.1 (x^4)+1.5 (x^2)-0.2 x+(y^2)+0.2 y))

(10 pont)

Tekintsük az

x'=x (1-x)-0.2

differenciálegyenletet, ami egy populció változását írja le. Határozd meg az egyensúlyi helyzeteket, és ábrázold az iránymezőt. Határozd meg az x(0)=0.2  kezőértékből induló megoldást. Határozd meg azt az időt, amikor a populáció kihal (x(t)=0). Ábrázold a megoldást.

Változat

(8 pont)

Legyen

(Subscript[A, 1])=(({{1, 2, 3}})) , 
(Subscript[B, 1])=(({{1, 1, 1}})) ,
(Subscript[C, 1])=(({{1, 0, 2}})) ,
(Subscript[D, 1])=(({{2, -2, 0}})).

Add meg az (Subscript[A, 1]), (Subscript[B, 1]) és (Subscript[C, 1]) által meghatározott sík egyenletét. Számold ki az (Subscript[A, 1])(Subscript[B, 1])(Subscript[C, 1])(Subscript[D, 1]) tetraéder  térfogatát! Ábrázold a tetraéder oldallapjait ((Subscript[A, 1])(Subscript[B, 1])(Subscript[C, 1]) alap legyen egyedül nem transzparens) és a (Subscript[D, 1])- ből induló testmagasságot!

(10 pont)

Ábrázold a

h(x)=x (e^(-(x^2)-x))

függvényt. Add meg a limeszt +∞-ben! Határozd meg a 2. deriváltat, határozd meg az inflexiós pontokat, ha kell, használj numerikus közelítést! Egy új ábrán színezd a 2. derivált grafikonját az előjel szerint, és egészítsd ki az ábrát a gyökök ábrázolásával. Egy új ábrán színezd a h grafikonját a  2. derivált előjelének megfelelően, s egészítsd ki az ábrát az inflexiós pontokkal. Összegezd az eredményeket egy szöveges cellában is:

2. derivált:?
Inflexiós pontok:?
Konvex szakaszok:?

(9 pont)

Készíts listát a

(1/(1+((sin )^2)t)){2cos t, 2 sin t cos t }

görbe egyenletes paraméter-távolságban levő pontjaiból. Ábrázold statikusan a pontokat úgy, hogy a pontok színe és mérete változzon a paraméternek megfelelően (pontok mérete csökkenjen)! Ábrázold a görbét egy futóponttal, illetve az adott pontbeli érintőgörbe egy darabjával dinamikusan is. Hol lesz az érintő párhuzamos az x tengellyel?

(14 pont)

Alkalmazd a

{x,y}->(({{1, 0.5}, {-1, 1}})) .(({{x}, {y}}))

transzformációt a koordinátarendszer egységvektoraira. Ábrázold a vektorokat és képeiket. A képek színe legyen piros, az eredeti vektoroké pedig kék.  (7 pont)

Alkalmazd a fenti transzformációt a harmadik pontban elkészített lista minden pontjára, és ábrázold a transzformált listát is (képpontok pirosak, méret konstans). Kösd össze minden pontot képével (Arrow)!  (7 pont)

(9 pont)

Fourier-projekt

Hasonlóan az órai-Taylor polinomos interaktív demonstrációhoz, készíts demot a Fourier függvény-sorozatok konvergenciájához! Legyen a tesztfüggvényed f(t)=(t/(2π)) és az intervallum (-π,π). Add meg az első és az ötödik trigonometrikus polinomot a következő képlet szerint:

(Subscript[F, n])=((Subscript[a, 0])/2)+(∑_(k=1)^n)(Subscript[a, k])cos(k t)+(Subscript[b, k])sin(k t),
(Subscript[a, n])=(1/π) (∫_(–π)^π)f(t)cos(n t)dt (n≥0),
(Subscript[b, n])=(1/π) (∫_(-π)^π)f(t)sin(n t)dt (n>1).

Ábrázold a függvényt és a polinomokat. Vesd össze a built–in FourierSeries paranccsal a polinomokat. Mi az összefüggés? Végzetül készíts animációt!

f[t_]=t/(2π);

a[expr_,var_,n_]:=

b[expr_,var_,n_]:=

FS[expr_,var_,n_]:=