1. Dolgozat
2009-2010 tanév, Ősz

Változat

(7 pont)

Készítsd el a következő függvény definícióját:

f(x)=(Piecewise[{{sin(x), x<0}, {cos(x)-1, 0≤x≤2π}, {0, 2π<x.}}])

Ábrázold a függvényt, első és második deriváltját a [-π,4π] szakaszon, úgy hogy az x-tengely hossza legyen kétszerese az y-tengelynek. Színezd a grafikont az y-értékeknek megfelelően.

(5 pont)

Ellenőrizd, hogy a

(({{0, 1, 1}})) , (({{1, 0, 1}}))  és  (({{1, 2, 0}}))

vektorok ortogonálisak-e. Ábrázold a vektorok vépontjait összekötő vonalat!

(10 pont)

Tekintsük a

h(x)=(e^(-(x^4)+ (x^3)-0.25x))

függvényt. Határozd meg a szélsőértékeket és inflexiós pontokat. Használj helyettesítési szabályokat! Ábrázold a függvény grafikonját, és jelöld be a kapott pontokat a grafikonon.

(8 pont)

Készíts listát a

{t - 2 sin(0.1 t) sin(2 t), 1 - sin(0.1 t) 2 cos(2 t)}

görbe egyenletes paraméter-távolságban levő pontjaiból (t∈[0,4π]). Ábrázold a pontokat úgy hogy a pontok színe és mérete változzon a paraméternek megfelelően.

(10 pont)

Alkalmazd a

{x,y}->(({{1, 0.5}, {k, 1}})) .(({{x}, {y}}))

transzformációt a koordinátarendszer egységvektoraira. Ábrázold a vektorokat és képeiket. Változtasd k-t dinamikusan a Manipulate segítségével a [-1,1] intervallumon. A képek színe legyen piros, az eredeti vektoroké pedig kék.

(10 pont)

Végezz grafikus vizsgálatokat az alábbi függvényen (grafikon, szintvonalak, parc. deriváltak, stb.). Határozd meg a szélsőértékeket.

f(x_,y_):=(1.5^((y^2)-2 (Sqrt[(x^4)+(y^2)])+0.1 (x^4)+0.2y+1.5(x^2)-0.2 x))

Változat

(7 pont)

Készítsd el a következő függvény definícióját:

f(x)=(Piecewise[{{x, x<0}, {(x^2), 0≤x≤1}, {1, 1<x.}}])

Ábrázold a függvényt, első és második deriváltját a [-1,2] szakaszon, úgy hogy a tengelyek léptéke legyen azonos. Színezd a grafikont az y-értékeknek megfelelően.

(5 pont)

Ellenőrizd, hogy a

(({{0, 1, 1}})) , (({{1, 0, 1}}))  és  (({{1, 1, 1}}))

vektorok lineárisan függetlenek-e. Ábrázold a vektorok végpontjai által kifeszített sokszöget!

(10 pont)

Tekintsük a

h(x)=(e^(-(x^6)+(x^3)-0.01x-1))

függvényt. Határozd meg a szélsőértékeket és inflexiós pontokat. Használj helyettesítési szabályokat! Ábrázold a a függvény grafikonját, és jelöld be a kapott pontokat a grafikonon.

(8 pont)

Készíts listát a

(1/(t+1)){cos t, sin t}

görbe egyenletes paraméter-távolságban levő pontjaiból. Ábrázold a pontokat úgy, hogy a pontok színe és mérete változzon a paraméternek megfelelően.

(10 pont)

Alkalmazd a

{x,y}->(({{-1, 0.5}, {1, k}})) .(({{x}, {y}}))

transzformációt a koordinátarendszer egységvektoraira. Ábrázold a vektorokat és képeiket. Változtasd k-t dinamikusan a Manipulate segítségével a [-2,2] intervallumon. A képek színe legyen zöld, az eredeti vektoroké pedig fekete.

(10 pont)

Végezz grafikus vizsgálatokat az alábbi függvényen (grafikon, szintvonalak, parc. deriváltak, stb.). Határozd meg a szélsőértékeket.

f(x_,y_):=(0.7^(-2 (Sqrt[(x^2)+(y^2)])+(x^4)+(y^2)-0.4 x-0.05y))

Változat

(8 pont)

Ellenőrizd, hogy a

(({{-2, -3, -3}})), (({{4, 6, -9}}))  és (({{1, (3/2), -6}}))

pontok kollineárisak-e.  Ha igen, ábrázold a 3 pontot az egyenessel. Ha nem, ábrázold a háromszöget a térben.

(Hint: Show)

(10 pont)

Ábrázold a

h(x)=(e^(-(x^2)+x-1))

függvényt, első és második deriváltját a [-1,1] szakaszon, úgy hogy az y-range [-1,1] legyen, a tengelyek hossza legyen egyenlő. Egy új ábrán színezd a h grafikonját az y-értékeknek, majd a 2. derivált előjelének megfelelően. Határozd meg a függvény inflexiós pontjaiban a függvény értékét! Ábrázold a pontokat a grafikonnal!

(9 pont)

Készíts listát a

(1/(t+1)){cos t, sin t}

görbe egyenletes paraméter-távolságban levő pontjaiból. Ábrázold a pontokat úgy hogy a pontok színe és mérete változzon a paraméternek megfelelően (pontok mérete csökkenjen!)
(Hint: a paramétertartomány [0,4π])

Alkalmazd a

{x,y}->(({{1, 0.5}, {-1, 1}})) .(({{x}, {y}}))

transzformációt a koordinátarendszer egységvektoraira. Ábrázold a vektorokat és képeiket. A képek színe legyen piros, az eredeti vektoroké pedig kék.

Alkalmazd a  fenti transzformációt a negyedik pontban elkészített lista minden pontjára, és ábrázold a transzformált listát is (képpontok pirosak, méret konstans). Kösd össze minden pontot képével!

(9 pont)

g[x,y]=242-108 x+15 (x^2)-(x^3)-108 y+24 x y+15 (y^2)-3 x (y^2)

Határozd meg a lokális szélsőértékhelyeket! Készíts illusztráló ábrákat is!

Változat

(10 pont)

Ábrázold a

h(x)=(x-1/2)/(1+(x^2))

függvényt, első és második deriváltját a [-5,5] szakaszon, úgy hogy az y-range [-2,3] legyen. Egy új ábrán színezd a h grafikonját az y-értékeknek, majd a  2. derivált elôjelének megfelelően. Határozd meg a függvény inflexiós pontjaiban a függvény értékét! Ábrázold a pontokat a grafikonnal!

(8 pont)

Ábrázold  a

(({{1, 0, 1}})), (({{2, 3, 4}})), (({{3, 5, 9}}))

pontok által meghatározott háromszöget a 3 pontot és határozd mega háromszöget területét.

(Hint: Polygon, Cross)

(9 pont)

Készíts listát a

{t-3cos t, 10sin t/(t+1)}

görbe egyenletes paraméter-távolságban levő pontjaiból. Ábrázold a pontokat úgy, hogy a pontok színe és mérete változzon a paraméternek megfelelően (pontok mérete csökkenjen!)

(Hint: a paramétertartomány [0,4π])

(14 pont)

Alkalmazd a

{x,y}->(({{1, 2}, {-1, 1}})) .(({{x}, {y}}))

transzformációt a koordinátarendszer egységvektoraira. Ábrázold a vektorokat és képeiket. A képek színe legyen piros, az eredeti vektoroké pedig zöld.

Alkalmazd a fenti transzformációt a negyedik pontban elkészített lista minden pontjára, és ábrázold a transzformált listát is (képpontok pirosak, méret konstans). Kösd össze minden pontot képével!

(9 pont)

Határozd meg g lokális szélsőértékhelyeit! Készíts illusztráló ábrákat is!

g[x,y]=x y(Sqrt[1-2(x^2)-(y^2)])

Változat

(8 pont)

Ábrázold  a

(({{1, 3, 1}}))
(({{2, 2, 2}}))
(({{3, 3, 6}}))
(({{2, 4, 5}}))

pontok által adott paralelogrammát és határozd meg a területét.

(Hint: Show,Polygon,Cross)

(10 pont)

Ábrázold a

h(x)=arctg(1+2(x^2))

függvényt, első és második deriváltját a [-4,4] szakaszon, úgy hogy az y-range [-1,2] legyen. Egy új ábrán színezd a h grafikonját az y-értékeknek, majd a  2. derivált előjelének megfelelően. Határozd meg a függvény inflexiós pontjaiban a függvény értékét! Ábrázold a pontokat a grafikonnal!

(9 pont)

Készíts listát a

(1/5){cos t+t sin t, sin t-t cos t}

görbe egyenletes paraméter-távolságban levő pontjaiból. Ábrázold a pontokat úgy hogy a pontok színe és mérete változzon a paraméternek megfelelően (pontok mérete növekedjen!)
(Hint: a paramétertartomány [0,4π])

(14 pont)

Alkalmazd a

{x,y}->(({{1, 2}, {-1, 1}})) .(({{x}, {y}}))

transzformációt a koordinátarendszer egységvektoraira. Ábrázold a vektorokat és képeiket. A képek színe legyen piros, az eredeti vektoroké pedig kék. (7 pont)

Alkalmazd a fenti transzformációt a negyedik pontban elkészített lista minden pontjára, és ábrázold a transzformált listát is (képpontok pirosak, méret konstans). Kösd össze minden pontot képével! (7 pont)

(9 pont)

Adjuk meg az

g2[x,y]=(x^4)+(y^4)-2(x^2)+4 x y-2(y^2)

kétváltozós függvény minumumát és maximumát a [-4,4]x[-4,4] intervallumon. Hol veszi fel a minimumot és maximumot a téglalapon? Vizsgáljuk a kritikus pontokat. Készítsünk ábrát/ábrákat!

Változat

(10 pont)

Ábrázold a

h(x)=(x-1/2)/(1+(x^2))

függvényt, első és második deriváltját a [-5,5] szakaszon, úgy hogy az y-range [-2,3] legyen. Egy új ábrán színezd a h grafikonját az y-értékeknek, majd a  2. derivált előjelének megfelelően. Határozd meg a függvény inflexiós pontjaiban a függvény értékét! Ábrázold a pontokat a grafikonnal!

(8 pont)

Határozd  meg az α értékét úgy, hogy a

(({{1, 1, 1}})),
(({{2, α, 3}})),
(({{3, 10, 6}}))

pontok által meghatározott háromszög területe  (Sqrt[(3/2)])legyen!  Ábrázold a  3 pontot, továbbá a háromszöget.

(Hint: Polygon, Cross)

(9 pont)

Készíts listát a

{t-3cos t, 10sin t/(t+1)}

görbe egyenletes paraméter-távolságban levő pontjaiból. Ábrázold a pontokat úgy hogy a pontok színe és mérete változzon a paraméternek megfelelően (pontok mérete csökkenjen!)
(Hint: a paramétertartomány [0,4π])

(14 pont)

Alkalmazd a

{x,y}->(({{1, 1/2}, {-1, 1}})) .(({{x}, {y}}))

transzformációt a koordinátarendszer egységvektoraira. Ábrázold a vektorokat és képeiket. A képek színe legyen piros, az eredeti vektoroké pedig zöld. (7 pont)

Alkalmazd a  fenti transzformációt a harmadik pontban elkészített lista minden pontjára, és ábrázold a transzformált listát is (képpontok pirosak, méret konstans). Kösd össze minden pontot képével! (7 pont)

(9 pont)

Határozd meg g lokális szélsőértékhelyeit! Készíts illusztráló ábrákat is!

g[x,y]=-x y(Sqrt[1-(x^2)-2(y^2)])