1. Dolgozat
2008. tanév, Ősz

Változat

(5 pont)

Ellenőrizd, hogy a

(({{1, 1, 1}, {1, 0, 0}, {1, 0, 2}}))

mátrix ortogonális-e?

(5 pont)

Ábrázold a

h(x)=(e^(-0.2x)) sin(2x)

függvényt a [-π,π] szakaszon, úgy hogy az y-range [-2,2] legyen, az x-tengely hossza legyen kétszerese az y-tengelynek. Színezd a grafikont az x-értékeknek megfelelően.

(15 pont)

Készíts listát az egységsugarú kör egyenletes távolságban levő pontjaiból. Ábrázold a pontokat úgy hogy a pontok színe és mérete változzon a polárszögnek megfelelően. (5 pont)

Alkalmazd a

{x,y}->{x-(y^2),(((x-y))^3)}

transzformációt minden pontra és ábrázold a transzformált listát is. Rajzold meg az eredeti pontokat és képeiket összekötő szakaszokat. (10 pont)

(20 pont)

Tekintsük az alábbi függvényeket:

f(x):=((e^x)/(((x^2)+0.92) (1+(e^x)))),
g(x):=(((e^(-(x^2))) (x^2))/((x^2)+1)).

Hasonlítsd össze az f(x) és g(x) lokális és globális viselkedését. Készíts interaktív eszközt a zoomolásra. (10 pont)

Keresd meg azokat a helyeket, ahol a függvények érintői párhuzamosak (f'(x)=g'(x)). Használj minél jobb kezdőértékeket, felhasználva az előző pont grafikus információit. (5 pont)

Ábrázold a függvényeket és a párhuzamos érintőket. (5 pont)

(20 pont)

Tekintsük a következő ragadozó-áldozat modellt:

x'=x-x y, 
y'=-y+ x y,     
x,y ≥0.

Keresd meg az egyensúlyi helyzetet. Oldd meg a rendszert az x(0), y(0) kezdeti adatokkal, úgy hogy y(0)=x(0)  és  x(0)=0.1, 0.2,...,0.9,1. Ábrázold a vektormezőt, a megoldásokat és trajektóriákat. Alkalmazz idő szerinti színezést a trajektóriák esetén.

Változat

(5 pont)

Ellenőrizd, hogy a

(({{0, 1, 1}, {1, 0, 1}, {1, 0, 1}}))

mátrix szinguláris-e. Mekkora a mátrix rangja,és határozd meg a mátrix nullterét.

(5 pont)

Ábrázold a

h(x)=(e^(x^2)) cos(2x)

függvényt a [-π,π] szakaszon, úgy hogy az y-range [-1,1] legyen, a tengelyek hossza legyen egyenlő. Színezd a grafikont az y-értékeknek megfelelően.

(15 pont)

Készíts listát a

{cos  t, sin 5 t}

görbe egyenletes paraméter-távolságban levő pontjaiból. Ábrázold a pontokat úgy, hogy a pontok színe és mérete változzon a paraméternek megfelelően. (5 pont)

Alkalmazd a

{x,y}->{y-(x^2),(((y+x))^3)}

transzformációt minden pontra és ábrázold a transzformált listát is. Rajzold meg az eredeti pontokat és képeiket összekötő szakaszokat. (10 pont)

(20 pont)

Tekintsük az alábbi függvényeket:

f(x):=(((x^2) (e^(x^2)))/(((x^4)+1) (1+(e^(x^2))))),
g(x):=(1.1/((x^2)+1)).

Hasonlítsd össze az f(x) és g(x) lokális és globális viselkedését. Készíts interaktív eszközt a zoomolásra. (10 pont)

Keresd meg azokat a helyeket, ahol a grafikonok metszik egymást (f(x)=g(x)). Használj minél jobb kezdőértékeket, felhasználva az előző pont grafikus információit.  (5 pont)

Ábrázold a függvényeket és az érintőket a metszéspontokban. (5 pont)

(20 pont)

Tekintsük egy kaotikus inga mozgását leíró rendszert:

x'=y, 
y'=-0.1 y-sin(x)+cos(t).

Oldjuk meg a rendszert az x(0), y(0) kezdeti értékekkel, ahol  y(0) ϵ [1.8,2.3]  és  x(0)=0. Ábrázold a megoldásokat és a trajektóriákat. Alkalmazz idő szerinti színezést a trajektóriák esetén.

Változat

(5 pont)

Használjuk a Mathematica-t a

h(x)=(1/((x^3)-3(x^2)))

függvény (kritikus) limeszeinek meghatározására.

(5 pont)

Készítsünk táblázatot az

f(x)=sin((x^2))

függvényértékekeből, ekvidisztánsan választva az alappontokat a  [-2,2] intervallumból az x-tengelyen. Ábrázoljuk ezeket a pontokat, a különböző pontok legyenek különböző színűek és nagyságúak az x-koordinátától függően, majd cseréljük ki transzformációs szabály alkalmazásával a pontokat félkörlapokra (Disks).

Graphics[Disk[{0,0},1,{0,Pi}]]

(15 pont)

Adott az y=m x  (origón áthaladó) egyenes, tükrözzünk egy P pontot az egyenesre. Manipulate-tel lehessen a P koordinátáit és az m paramétert változtatni. (10 pont)

*Adott L={(Subscript[m, 1]),(Subscript[m, 2]), (Subscript[m, k])} lista. Mi az y=(Subscript[m, i]) x (origón áthaladó) egyeneshez tartozó meredekség? Továbbá adott egy P pont. Ábrázoljuk P tükörképeinek sorozatát (Manipulate; k-adik pozició: elsô k tükörkép, színezés). (5 pont)

Hint: Határozzuk meg a lineáris transzformáció mátrixát a standard bázisban az m paraméter függvényében: m=tg α.

(10 pont)

Adott az

f(x ,y)=(10 x y + (x^2)+ 3(y^2)) (e^(1-(x^2)-(y^2)))

kétváltozós függvény.

Adjuk meg az (f^( '))(x) és (f^( '))(y) függvényeket. (2 pont)

Adjuk meg az f '(x) és (f^( '))(y) 0-szintvonalait grafikusan. (2 pont)

Határozzuk meg a kritkikus pontkainak halmazát és a lokális szélsőértékeket (helyeket). (2 pont)

Adjuk meg egy-egy listában a lokális minimumok és lokális maximumok közelítő értékeit (Pl.  LMIN={{{0,0},1.2},{{1,2},3.4},...}). (2 pont)

Ábrázoljuk különböző színekkel a maximum helyeket, .... egy ábrán (CONTOURPLOT).  (2 pont)

(10 pont)

Az alábbi Lissajous görbéket ábrázoljuk a paraméterek függvényében. (Manipulate) és alkalmas Snapshottal mutassuk meg, hogy megfelelô paraméter értékek esetén elôállnak a másodfokú és harmadfokú Chebyshev polinomok is (x∈[-1,1]).

LCurves(t)=(x(t),y(t))=(sin(a t+δ), sin(b t))   (a,b,δ ∈ ℝ)

Hogyan lehetne ezt bizonyítani (Mathematica-val)? Milyen egyéb, 'ismert' görbék kaphatók meg?

Egy általunk választott speciális esetben a paraméterek függvényében illusztráljunk pontmozgást a görbén (színezés).

Hint: ?ChebyshevT[n,x]

Változat

(5 pont)

Készítsünk táblázatot az

f(x)=cos((x^2))

függvényértékekeből, ekvidisztánsan választva az alappontokat a  [-2,2] intervallumból az x-tengelyen. Ábrázoljuk ezeket a pontokat, a különböző pontok legyenek különböző színűek és nagyságúak az x-koordinátától függően, majd cseréljük ki transzformációs szabály alkalmazásával a pontokat négyzetekre.

Graphics[{Red,Rectangle[{0,0},{1,1}]}]

(5 pont)

Használjuk a Mathematica-t a

h(x)=(((x^2)-1)/(2(x^2)-x-1))

függvény (kritikus) limeszeinek meghatározására.

(15 pont)

Adott az y=m x  (origón áthaladó) egyenes, tükrözzünk egy P pontot az egyenesre. Manipulate-tel lehessen a P koordinátáit és az m paramétert változtatni. (10 pont)

*Adott L={(Subscript[m, 1]),(Subscript[m, 2]), (Subscript[m, k])} lista. Mi az y=(Subscript[m, i]) x (origón áthaladó) egyeneshez tartozó meredekség. Továbbá adott egy P pont. Ábrázoljuk P tükörképeinek sorozatát (Manipulate; k-adik pozició: elsô k tükörkép, színezés).  (10 pont)

Hint: Határozzuk meg a lineáris transzformáció mátrixát a standard bázisban az m paraméter függvényében: m=tg α.

(10 pont)

Adott az

f(x ,y)= -2(Sqrt[(x^2)+(y^2)])+(x^2)+(y^2)- 0.4x

kétváltozós függvény.

Adjuk meg az (f^( '))(x) és (f^( '))(y) függvényeket. (2 pont)

Adjuk meg az (f^( '))(x) és (f^( '))(y) 0-szintvonalait grafikusan. (2 pont)

Határozzuk meg a kritkikus pontjainak halmazát és a lokális szélsőértékeket. (helyeket) (2 pont)

Adjuk meg egy-egy listában a lokális minimumok és lokális maximumok közelítő értékeit (Pl.  LMIN={{{0,0},1.2},{{1,2},3.4},...}). (2 pont)

Ábrázoljuk különböző színekkel a maximum helyeket, .... egy ábrán (CONTOURPLOT). (2 pont)

(10 pont)

Az alábbi  Lissajous görbéket ábrázoljuk a paraméterek függvényében. (Manipulate) és alkalmas Snapshottal mutassuk meg, hogy megfelelô paraméter értékek esetén elôállnak a másodfokú és harmadfokú Chebyshev polinomok is (x∈[-1,1]).

LCurves(t)=(x(t),y(t))=(sin(a t+δ), sin(b t))   (a,b,δ ∈ ℝ)

Hogyan lehetne ezt bizonyítani (Mathematica-val)? Milyen egyéb, 'ismert' görbék kaphatók meg?

Egy általunk választott speciális esetben a paraméter függvényében illusztráljunk pontmozgást a görbén (színezés). (10 pont)

Hint: ?ChebyshevT[n,x]