2. dolgozat
2014/2015 tanév, tavaszi félév

A. változat

Fontos: Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Primitív függvény keresés.  10 pont

Határozza meg az h(t)=(((t^3)-1 )/(t^3)) függvény azon primitív függvényét, amelyre H(1)=2. (6 pont)
Határozza meg az H(t) szélsőértékhelyeit.  (4 pont)

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

Határozatlan  integrál, elemi törtekre bontás, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi törtekre bontás módszerével:

Határozatlan  integrál 8+10 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrálokat a helyettesítés és/vagy a parciális integrálás módszerével:

∫cos(x) (x-(1/(1-sin(x))))dx.

Határozott integrál grafikusan, 4+2+2 pont

Egy egyenes vonalú pályán mozgó test pillanatnyi sebességét az alábbi grafikon mutatja:

f=Line[{{0,-2},{1,0},{2,0},{4,1},{5,0}}];
Graphics[{Thickness[0.01],f},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Blue,Opacity[0.5]],AspectRatio->Automatic,Axes->True]

Mekkora az elmozdulás a (Subscript[t, 1])=0 és (Subscript[t, 2])=4 pillanatok között? 
Mennyi az átlagsebesség ezen a szakaszon?
Mennyi a gyorsulás a (Subscript[t, 1])=2 és (Subscript[t, 2])=4 pillanatok közt?

Területszámítás, 10 pont

Határozza meg az f(x)=(e^x)+(x^2)+3x és g(x)=12-x+(e^x) függvények grafikonjai által határolt zárt, korlátos tartomány területét!

Numerikus integrál, 8 pont

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-1,1] intervallumon vett integráljának trapézközelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=-0.43- 2x+(x^2)+1.65(x^3)
Plot[f[x],{x,-1,1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-2,2,0.5],None},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1,1}]

Változás, 15 pont

Egy test gyorsulását az a(t)=t+(e^(-t)) ((m/(s^(2 )))) függvény írja le.  Határozza meg a test helyzetének idõbeli változását, ha v(0)=0  és  s(0)=1.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) és s(t) függvényt. 
b) (5 pont) Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=0    és  (Subscript[t, 2])=1  másodpercek között?

Differenciálegyenletek, 15 pont

A  k=0.5 kiürülési rátájú gyógyszert 1.5 mg/perc sebességgel infúzióban adagoljuk. Ezért a folyamatot az  m'(t)=-0.5m (t)+1.5   differenciálegyenlet írja le.

a) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és m=0;1; 2; 3; 4; 5  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

b) (10 pont) Oldja meg a differenciálegyenletet m(0)=1 kezdeti érték mellett (nem elég a végeredményt felírni!)

B. változat

Fontos : Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Primitív függvény keresés.  10 pont

Határozza meg az g(t)=(((t^2)-3t+2 )/(t^3)) függvény azon primitív függvényét, amelyre G(1)=3. (6 pont)
Határozza meg az G(t) szélsőértékhelyeit.  (4 pont)

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

Határozatlan  integrál, elemi törtekre bontás, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi törtekre bontás módszerével:

Határozatlan  integrál 8+10 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrálokat a helyettesítés és/vagy a parciális integrálás módszerével:

∫x (ln(x)-(e^(2-3(x^2))))dx.

Határozott integrál grafikusan, 4+2+2 pont

Egy egyenes vonalú pályán mozgó test pillanatnyi sebességét az alábbi grafikon mutatja:

f=Line[{{0,2},{1,1},{3,0},{4,-1},{5,0}}];
Graphics[{Thickness[0.01],f},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Blue,Opacity[0.5]],AspectRatio->Automatic,Axes->True]

Mekkora az elmozdulás a (Subscript[t, 1])=0 és (Subscript[t, 2])=3 pillanatok között? 
Mennyi az átlagsebesség ezen a szakaszon?
Mennyi a gyorsulás a (Subscript[t, 1])=1 és (Subscript[t, 2])=3 pillanatok közt?

Területszámítás, 10 pont

Határozza meg az f(x)=sin(x)+3(x^2)-2x és g(x)=2x-(x^2)+sin(x) függvények grafikonjai által határolt zárt, korlátos tartomány területét!

Numerikus integrál, 8 pont

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-1,1] intervallumon vett integráljának trapézközelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=-3.(x+0.05)(x-0.81)(x+0.8)
Plot[f[x],{x,-1,1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-2,2,0.5],None},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1,1}]

Változás, 15 pont

Egy harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulását az a(t)=-18sin(3t) ((m/(s^(2 )))) függvény írja le.  Határozza meg a test helyzetének idõbeli változását, ha v(0)=1  és  s(0)=1.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) és s(t) függvényt. 
b) (5 pont) Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=0    és  (Subscript[t, 2])=(π/3)  másodpercek között?

Differenciálegyenletek, 15 pont

Feladat: Az  p'(t)=2(1-p (t))  differenciálegyenlet írja le elsőrendű kémiai reakció során a végtermék mennyiségének változását, ahol p(t) a tömeg mg-ban, a sebesség mg/s-ban van megadva.

a) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,p) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és p=0; 0.5; 1; 1.5; 2;  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

b) Adja meg a differenciálegyenlet p(0)=0.5 kezdeti értékhez tartozó megoldását.