2. dolgozat
2014/2015 tanév, őszi félév

A. változat

Fontos: Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Primitív függvény keresés.  10 pont

Határozza meg az f(x)=(((x^3)-2x )/x) függvény azon primitív függvényét, amelyre F(1)=2. 
Határozza meg az F(x) szélsőértékhelyeit.

Clear[f];
f[x_]=(((x^3)-2x )/x);

2 + Integrate[Simplify[f[x]], {x, 1, x}]

sze=Solve[f[x]==0,x]

Simplify[f'[x]]

sze=Solve[f'[x]==0,x]

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫Simplify[((1-(x^3)+(Sqrt[(x^3)])-  (Sqrt[x]) Sin[x])/(Sqrt[x]))]\[DifferentialD]x

Határozatlan  integrál, elemi törtekre bontás, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi törtekre bontás módszerével:

Expand[(x-1)(x-2)]

Apart[((x+2)/(2-3 x+(x^2)))]

∫((x+2)/(2-3 x+(x^2)))\[DifferentialD]x

Határozatlan  integrál 10+8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrálokat a helyettesítés és/vagy a parciális integrálás módszerével:

∫((e^x)/(Sqrt[(e^x)+2]))dx; 		∫  (x^(1/3)) ln(x)dx.

∫((E^x)/(Sqrt[(E^x)+2]))\[DifferentialD]x

∫(x^(1/3)) Log[x]\[DifferentialD]x

Határozott integrál grafikusan, 4+2+4 pont

Egy egyenes vonalú pályán mozgó test pillanatnyi sebességét az alábbi grafikon mutatja:

f=Line[{{0,0},{1,-2},{3,0},{4,1},{6,0}}];
Graphics[{Thickness[0.01],f},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Blue,Opacity[1]],AspectRatio->Automatic,Axes->True,AxesLabel->{t,v}]

Mennyit változik a test helyzete a (Subscript[t, 1])=0 és (Subscript[t, 2])=4 pillanatok között. 
Mennyi az átlagsebesség ezen a szakaszon?
Hol van a test legtávolabb a kezdeti ponttól.

Területszámítás, 10 pont

Határozza meg az f(x)=(x^2) és g(x)=2(x^2)-2x függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

f=(x^2) ;g=-2 x+3(x^2);
sol=Solve[f==g,x]

x0=x/.sol

Plot[{f,g},{x,-1,2},PlotRange->All]

∫(f-g)\[DifferentialD]x

(∫_(-2)^0)(f-g)\[DifferentialD]x

(∫_0^1)(f-g)\[DifferentialD]x

Numerikus integrál, 6 pont

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-1,1] intervallumon vett integráljának trapézközelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=-0.5- x+(x^2)+(x^3)
Plot[f[x],{x,-1,1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-2,2,0.5],None},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1,1}]

Változás, 15 pont

Egy test gyorsulását az a(t)=1+(t^2) (m/(s^(2 ))) függvény írja le.  Határozza meg a test helyzetének idõbeli változását, ha v(0)=0  és  s(0)=1.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) és s(t) függvényt. 
b) (5 pont) Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=0    és  (Subscript[t, 2])=3  másodpercek között?

a=t+(t^2);

v=0+(∫_0^t)a\[DifferentialD]t

s=1+(∫_0^t)v\[DifferentialD]t

Plot[s,{t,0,5}]

Differenciálegyenletek, 15+5 pont

A  k=0.5 szaporodási rátájú sejtpopulációból 1 g/perc sebességgel vonunk ki sejteket. Ezért a folyamatot az  m'(t)=0.5m (t)-1  differenciálegyenlet írja le.

a) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és m=0; 0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; 3  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

b) (10 pont) Oldja meg a differenciálegyenletet m(0)=0.2 kezdeti érték mellett (nem elég a végeredményt felírni!)

c) (5 pont) Elfogy-e az összes sejt, ha igen mikor ?

B. változat

Fontos : Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Primitív függvény keresés.  10 pont

Határozza meg az f(x)=((-(x^3)+3x )/x) függvény azon primitív függvényét, amelyre F(1)=-1. 
 F(x) hol monoton csökkenő?

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

Határozatlan  integrál, elemi törtekre bontás, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi törtekre bontás módszerével:

Határozatlan  integrál 10+8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrálokat a helyettesítés és/vagy a parciális integrálás módszerével:

∫(x^2) (e^(-(x^3)))dx; 		∫ (x+2) (e^x)dx.

Határozott integrál grafikusan, 4+2+4 pont

Egy egyenes vonalú pályán mozgó test pillanatnyi sebességét az alábbi grafikon mutatja:

f=Line[{{0,2},{1,2},{3,0},{4,-1},{6,0}}];
Graphics[{Thickness[0.01],f},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Blue,Opacity[1]],AspectRatio->Automatic,Axes->True,AxesLabel->{t,v}]

Mennyit változik a test helyzete a (Subscript[t, 1])=1 és (Subscript[t, 2])=6 pillanatok között. 
Mennyi az átlagsebesség ezen a szakaszon?
Hol van a test legtávolabb a kezdeti ponttól.

Forgástest, 10 pont

Határozza meg az f(x)=((x^2)/2)+0.5 függvény grafikonjának  [0,1] szakaszon vett darabjának x-tengely körüli megforgatásával kapott edény térfogatát!

Numerikus integrál, 6 pont

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-2,1] intervallumon vett integráljának “jobboldali” közelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=-0.5- x+(x^2)+(x^3)
Plot[-f[x],{x,-1,1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-2,2,0.5],None},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1,1}]

Változás, 15 pont

Egy test gyorsulását az a(t)=2-t (m/(s^(2 ))) függvény írja le.  Határozza meg a test helyzetének idõbeli változását, ha v(0)=1  és  s(0)=2.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) és s(t) függvényt. 
b) (5 pont) Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=1    és  (Subscript[t, 2])=3  másodpercek között?

Differenciálegyenletek, 15+5 pont

A  k=(1/2) kiürülési rátájú gyógyszert 2 mg/perc sebességgel infúzióban adagoljuk. Ezért a folyamatot az  m'(t)=-(1/2)m (t)+2   differenciálegyenlet írja le.

a) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és m=0;1;2;3;4;5  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

b) (10 pont) Az infúzió előtt adjunk be 1 mg-ot injekcióban. Adja meg a gyógyszer mennyiségének időbeli változását, azaz oldja meg a differenciálegyenletet m(0)=1 kezdeti érték mellett (nem elég a végeredményt felírni!)

c) (5 pont) Mikor éri el a gyógyszer a 3 mg értéket?