2. dolgozat
2013/2014 tanév, tavaszi félév

A. változat

Fontos: Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Primitív függvény keresés.  10 pont

Határozza meg az f(x)=(((x^3)-2x )/(x^2)) függvény azon primitív függvényét, amelyre F(1)=-2. 
Határozza meg az F(x) szélsőérték- és inflexiós helyeit.

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((1-(x^3)+(Sqrt[(x^3)])-  x (e^x))/x)dx

Határozatlan  integrál, elemi törtekre bontás, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi törtekre bontás módszerével:

∫ (x/(-2-x+(x^2)))dx  .

Határozatlan  integrál 8+8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrálokat a helyettesítés és/vagy a parciális integrálás módszerével:

∫(e^x) sin((e^x)+1) dx ; 		∫ (x^2)(e^(-x)) dx.

Határozott integrál grafikusan, 5+2 pont

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-2,3] intervallumon.

f=Line[{{-2,1},{-1,-1},{0,0},{1,0},{3,1},{4,-1}}];
Graphics[{Thickness[0.01],f},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Black,Opacity[0.8]],AspectRatio->Automatic,Axes->True]

Területszámítás, 10 pont

Határozza meg az f(x)=-2-x és g(x)=g(x)=-(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Numerikus integrál, 6 pont

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-1.5,1] intervallumon vett integráljának trapézközelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=- x+(x^2)+(x^3)
Plot[f[x],{x,-1.5,1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-2,2,0.5],None},GridLinesStyle->Directive[Black,Opacity[0.8]],AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-0.5,1.1}]

Változás, 15 pont

Egy test sebességét az s'(t)=v(t)= (t^2)+(e^(-t)) (m/s)függvény írja le.

a) Határozza meg  v(t) határozatlan integrálját. (5 pts)
b) Menni az átlagsebesség a [0,3] intervallumon? (5 pts)
c) Határozza meg az s(t) függvényt az s(0)=2 kezdeti érték mellett. (5 pts)

Differenciálegyenletek, 15+5 pont

A  k=2 szaporodási rátájú sejtpopulációból 4 g/perc sebességgel vonunk ki sejteket. Ezért a folyamatot az  m'(t)=2m (t)-4  differenciálegyenlet írja le.

a) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és m=0; 0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; 3  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

b) (10 pont) Oldja meg a differenciálegyenletet m(0)=1 kezdeti érték mellett (nem elég a végeredményt felírni!)

c) (5 pont) Mikor fogy el az összes sejt?