2. dolgozat
2013/2014 tanév, őszi félév

A. változat

Fontos: Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Elméleti kérdés.  5 pont

A területfüggvény definíciója és a integrálszámítás alaptétele.

Primitív függvény keresés.  10 pont

Határozza meg az f(x)=(((x^2)-2x )/(x^2)) függvény azon primitív függvényét, amelyre F(2)=2. 
Határozza meg az F(x) szélsőérték- és inflexiós helyeit.

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((-(x^3)+(Sqrt[(x^3)])-x (Sqrt[x]) sin+1)/(Sqrt[x]))dx

Határozatlan  integrál, elemi törtekre bontás, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi törtekre bontás módszerével:

∫(x/(-2+x+(x^2)))dx.

Határozatlan  integrál 8+8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrálokat a helyettesítés és/vagy a parciális integrálás módszerével:

∫(e^x)(Sqrt[(e^x)+1]) dx; 		∫ x (((ln(x)))^2)dx.

Határozott integrál grafikusan, 5+2 pont

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-2,3] intervallumon.

f=Line[{{-2,1},{-1,0},{0,0},{2,-2},{3,0}}];
Graphics[{Thickness[0.01],f},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Black,Opacity[1]],AspectRatio->Automatic,Axes->True]

Területszámítás, 10 pont

Határozza meg az f(x)=-(x^3) és g(x)=(x^2)-2x függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Numerikus integrál, 6 pont

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-2,1] intervallumon vett integráljának trapézközelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=-2 x+(x^2)+(x^3)
Plot[f[x],{x,-2,1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-2,2,0.5],None},GridLinesStyle->Directive[Black,Opacity[1]],AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-0.7,2.2}]

Változás, 15 pont

Egy test gyorsulását az a(t)=t+sin(t) (m/(s^(2 ))) függvény írja le.  Határozza meg a test helyzetének idõbeli változását, ha v(0)=1  és  s(0)=2.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) és s(t) függvényt. 
b) (5 pont) Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=0    és  (Subscript[t, 2])=3  másodpercek között?

Differenciálegyenletek, 15+5 pont

A  k=1 szaporodási rátájú sejtpopulációból 2 g/perc sebességgel vonunk ki sejteket. Ezért a folyamatot az  m'(t)=m (t)-2  differenciálegyenlet írja le.

a) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és m=0; 0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; 3  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

b) (10 pont) Oldja meg a differenciálegyenletet m(0)=0.5 kezdeti érték mellett (nem elég a végeredményt felírni!)

c) (5 pont) Mikor fogy el az összes sejt?

B. változat

Fontos: Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Elméleti kérdés.  5 pont

A primitív függvény és határozatlan integrál definíciója. A primitív függvények kapcsolata.

Primitív függvény keresés.  10 pont

Határozza meg az f(x)=(((x^3)-3x )/(x^2)) függvény azon primitív függvényét, amelyre F(1)=-1. 
Határozza meg az F(x) szélsőérték- és inflexiós helyeit.

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((-(x^3)-(e^x) (x^2)+2 x+2)/(x^2))dx

Határozatlan  integrál, elemi törtekre bontás, 8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi törtekre bontás módszerével:

∫ (1/(-2-x+(x^2)))dx.

Határozatlan  integrál 8+8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrálokat a helyettesítés és/vagy a parciális integrálás módszerével:

∫sin(x) (e^(2cos(x))) dx; 		∫ (x+2) cos(x)dx.

Határozott integrál grafikusan, 5+2 pont

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-2,3] intervallumon.

f=Line[{{-2,-1},{0,0},{1,1},{2,1},{3,0}}];
Graphics[{Thickness[0.01],f},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Black,Opacity[1]],AspectRatio->Automatic,Axes->True]

Területszámítás, 10 pont

Határozza meg az f(x)=-6+x+2(x^2) és  g(x)=(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Numerikus integrál, 6 pont

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-1,2] intervallumon vett integráljának “jobboldali” közelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=-2 x-(x^2)+(x^3)
Plot[f[x],{x,-1,2},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-2,2,0.5],None},GridLinesStyle->Directive[Black,Opacity[1]],AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-2.2,1}]

Változás, 15 pont

Egy test gyorsulását az a(t)=2-(e^(-t)) (m/(s^(2 ))) függvény írja le.  Határozza meg a test helyzetének idõbeli változását, ha v(0)=2  és  s(0)=-1.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) és s(t) függvényt. 
b) (5 pont) Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=1    és  (Subscript[t, 2])=3  másodpercek között?

Differenciálegyenletek, 15+5 pont

A  k=(3/4) kiürülési rátájú gyógyszert 3 mg/perc sebességgel infúzióban adagoljuk. Ezért a folyamatot az  m'(t)=-(3/4)m (t)+3   differenciálegyenlet írja le.

a) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és m=0;1;2;3;4;5  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

b) (10 pont) Az infúzió előtt adjunk be 1/2 mg-ot injekcióban. Adja meg a gyógyszer mennyiségének időbeli változását, azaz oldja meg a differenciálegyenletet m(0)=1/2 kezdeti érték mellett (nem elég a végeredményt felírni!)

c) (5 pont) Mikor éri el a gyógyszer a 3 mg értéket?