2. dolgozat
2012/2013 tanév, tavaszi félév

A. változat

Fontos: Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Primitív függvény keresés.  10 pont

Határozza meg az f(x)=(x^3)(x-2)  függvény azon primitív függvényét, amelyre F(1)=2. 
Határozza meg az F(x) szélsőérték- és inflexiós helyeit.

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 4+6 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

Határozatlan  integrál 7+8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált a helyettesítés és/vagy parciális integrálás módszerével:

∫(x^2) (ln(x)-((e^(-(x^2)))/x))dx.

Határozott integrál grafikusan, 5 pont

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-5,7] intervallumon.

f:=Interpolation[{{-4,2},{-2,2},{0,0},{1,-2},{3,1},{5,1}},InterpolationOrder->1]
Plot[-f[x/2]+1/2,{x,-5,7},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-7,8,1],{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Blue,Opacity[0.5]],AspectRatio->Automatic]

Területszámítás, 10 pont

Határozza meg az f(x)=3(x^4)   és g(x)=(x^3)+2(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Változás 1, 10 pont

A vérben a gyógyszer mennyiségének változási sebessége az m'(t)=3(e^(-3t))-2(e^(-2t)). A gyógyszer kezdeti mennyisége m(0)=1; Határozza meg az m(t) függvényt, érintőjét a t=0 pillanatban.

Numerikus integrál, 5 pont

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [1,3] intervallumon vett integráljának trapéz-közelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=x(x-2)(x-3)(x-1)
Plot[-f[x],{x,0.8,3.1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},PlotRange->{-1.1,1},GridLines->{Range[-1,4,0.5],None},AspectRatio->Automatic]

Változás 2, 20 pont

Egy test gyorsulását az a(t)=t-(1/((((t+1))^2)
)) (m/(s^(2 ))) függvény írja le.  Határozza meg a test helyzetének időbeli változását, ha v(0)=0  és  s(0)=1.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) és s(t) függvényt. 
b) (5 pont) Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=1    és  (Subscript[t, 2])=4  másodpercek között?
c) (5 pont) Határozza meg az  s(t) függvény szélsőérték helyeit.

B. változat

Fontos : Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Primitív függvény keresés.  10 pont

Határozza meg az f(x)=x((x^2)-2)  függvény azon primitív függvényét, amelyre F(1)=2. 
Határozza meg az F(x) szélsőérték- és inflexiós helyeit.

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 4+6 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

Határozatlan  integrál 7+8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált a helyettesítés és/vagy parciális integrálás módszerével:

∫(x^3) (ln(x)-((e^(-(x^2)))/(x^2)))dx.

Határozott integrál grafikusan, 5 pont

f:=Interpolation[{{-4,2},{-2,2},{0,0},{1,-2},{3,1},{5,1}},InterpolationOrder->1]
Plot[f[x/2]-1/2,{x,-5,7},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-7,8,1],{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Blue,Opacity[0.5]],AspectRatio->Automatic]

Területszámítás, 10 pont

Határozza meg az f(x)=3(x^4)   és g(x)=-(x^3)+2(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Változás 1, 10 pont

A vérben a gyógyszer mennyiségének váltzási sebessége az m'(t)=3(e^(-3t))-(e^(-t)). A gyógyszer kezdeti mennyisége m(0)=0; Határozza meg az m(t) függvényt, és azt az időpontot, amikor eléri maximumát.

Numerikus integrál, 5 pont

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [1,3] intervallumon vett integráljának trapéz-közelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=x(x-2)(x-3)(x-1)
Plot[f[x],{x,0.8,3.1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},PlotRange->{-1.1,1},GridLines->{Range[-1,4,0.5],None},AspectRatio->Automatic]

Változás 2, 20 pont

Egy test gyorsulását az a(t)=1-(1/(((t+1))^2)) (m/(s^(2 ))) függvény írja le.  Határozza meg a test helyzetének időbeli változását, ha v(0)=2  és  s(0)=-1.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) és s(t) függvényt. 
b) (5 pont) Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=1    és  (Subscript[t, 2])=4  másodpercek között?
c) (5 pont) Határozza meg az  s(t) függvény inflexiós helyeit.