2. dolgozat - 2010. tanév

Grafikus integrálás. 10 pont.

Az alábbi ábrán valamely F(x) függvény deriváltja látható.
Az ábra alapján mondja meg (ha lehet!), hogy hol van az F(x) függvénynek zéróhelye,  minimuma, maximuma és inflexiós pontja? Ábrázolja az érintőmező elemeit az F(x) szempontjából kritikus és hasznos helyeken.

Plot[Evaluate[((x+1)(((x-1))^2)  (x))],{x,-1.2,1.5},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y}]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 4+6 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((((x^3)^(1/4))-1+x sin(x))/x)dx ,                          ∫ ((x-1)/(x (3-x)))dx.

Határozatlan integrál. 6+7 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált a helyettesítés és/vagy parciális integrálás módszerével:

∫(e^x) (x- (1/(1+(e^x))) )dx

Numerikus integrál I. 5 pont.

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-2,4] intervallumon.

f[x_]:=Which[x≤-3,2,x≤-2,-x-1,x≤0,1,x≤2,-0.5x+1,x≤3,-2x+4,True,2x-8]
Plot[f[x],{x,-4,5},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Orange,Dashed],AspectRatio->Automatic]

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(x^4)+3(x^2)  és g(x)=(x^4)+(x^3) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Munka. 7 pont.

A mozgó testre az elmozdulás irányában F(s)=(s/(s+1)) nagyságú erő hat (függ a test helyétől). Számoljuk ki a végzett munkát az (Subscript[s, 1])=1  és  (Subscript[s, 2])=3  (méter) pozíciók között.

Numerikus integrál II. 5 pont.

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-1,2] intervallumon vett integráljának jobboldali közelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=0.5(x+1.5)(x)^2(x-2)+1
Plot[f[x],{x,-1.2,2.1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-1,2,0.5],None},AspectRatio->Automatic]

Változás. 20 pont.

Valamely anyag m(t) össztömegének változási sebességét az m'(t)=v(t)= t (e^(-2(t^2)))(mg/s) függvény írja le.

a) (3 pont) Határozza meg a  m(t) függvény maximumát (t>0).

b) (7 pont) Határozza meg a v(t) egy primitív függvényét.

c) (5 pont) Határozza meg a változást leíró m(t) függvényt ha m(0)=0.;

d) (5 pont) Mennyi az átlagos változási sebesség a (Subscript[t, 1])=0  és a  (Subscript[t, 2])=3 pillanatok között.

Differenciálegyenletek, sejttenyészet szaporodása. 20 pont.

A  p'(t)= 0.5p (t) -1  differenciálegyenlet írja le valamely sejttenyészetben a sejtek számának változását (folyamatosan kivonunk a tenyészetből 1 mg/h sebességgel), ahol p a sejtek össztömegét  jelenti mg-ban, a növekedési sebesség (mg/h)-ban adott.

a) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzetet. Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,p) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és  p=0; 0.5; 1; 1.5; 2;  2.5 értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

b) (10 pont) Adja meg a differenciálegyenlet p(0)=1 kezdeti értékhez tartozó megoldását.

c) (5 pont) Határoza meg azt az időt, amikor a tenyészet teljesen kipusztul.

Grafikus integrálás. 10 pont.

Az alábbi ábrán valamely F(x) függvény  deriváltja látható.
Az ábra alapján mondja meg, hogy az F(x) függvény pozitív, negatív, monoton növő, csökkenő, konvex, ill. konkáv? Ábrázolja az érintőmező elemeit az F(x) szempontjából kritikus helyeken.

Plot[Evaluate[((x+1)(x-1.5)  (x^2))],{x,-1.2,1.8},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y}]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 4+6 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫(((x^(1/5))-x+(x^2)cos(x))/(x^2))dx ,                          ∫ ((1+x)/((x+2) (x-2)))dx.

Határozatlan integrál. 6+7 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált a helyettesítés és/vagy parciális integrálás módszerével:

∫sin (x) (x- (1/(1-cos(x))) )dx

Numerikus integrál I. 5 pont.

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-4,3] intervallumon.

f[x_]:=Which[x≤-3,2,x≤-2,-x-1,x≤0,1,x≤2,-0.5x+1,x≤3,-2x+4,True,2x-8]
Plot[-f[-x+1],{x,-4,5},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Orange,Dashed],AspectRatio->Automatic]

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(Sqrt[x])+6(x^2) és g(x)=(Sqrt[x])+2(x^2)+(x^3) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Forgástest térfogata. 7 pont.

Az f(x)=x(1-x)  függvény grafikonját megforgatjuk az x-tengely körül (0≤x≤1) . mennyi a kapott forgátest térfogata?

Numerikus integrál II. 5 pont.

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-1,1.5] intervallumon vett integráljának baloldali közelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=0.5(x+1.5)(x)^2(x-2)+1
Plot[f[-x],{x,-1.2,1.7},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-1,2,0.5],None},AspectRatio->Automatic]

Változás. 20 pont.

Egy rugó rezgésekor a kitérést mérjük, ennek értéke a t pillanatban a s(t) cm. A mozgás sebessége  s'(t)=v(t)=t sin((t^2))(cm/sec).

a) (5 pont) Mennyi az első legnagyobb kilengés, melyik pillanatban éri el ezt a test?

b) (7 pont)  Határozza meg a v(t) egy primitív függvényét.

c) (3 pont) Határozza meg a változást leíró s(t) függvényt ha s(0)=0.

d) (5 pont) Mennyi a kitérés megváltozása a (Subscript[t, 1])=1 sec és  (Subscript[t, 2])=3 sec között?

Differenciálegyenletek, sejttenyészet szaporodása. 20 pont.

Az  m'(t)=-2m (t)+3  differenciálegyenlet írja le egy infúzióban beadott gyógyszer mennyiségének változását a vérben, ahol m(t) a gyógyszer össztömege mg-ban, a sebesség mg/h-ban van megadva.

a) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és p=0; 0.5; 1; 1.5; 2;  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

b) (10 pont) Adja meg a differenciálegyenlet m(0)=0 kezdeti értékhez tartozó megoldását.

c) (5 pont) Határozza meg azt az időt amikor a tömeg eléri az 1 mg értéket.