2. dolgozat - 2009. tanév

Grafikus integrálás. 10 pont.

Az alábbi ábrán valamely F(x) függvény deriváltja látható.
Az ábra alapján mondja meg (ha lehet!), hogy hol van az F(x) függvénynek zéróhelye,  minimuma, maximuma és inflexiós pontja? Ábrázolja az érintőmező elemeit az F(x) szempontjából kritikus helyeken.

Plot[-Evaluate[((x+1.5)(((x-1))^2)  (x))],{x,-1.6,1.6},AspectRatio->0.6,AxesLabel->{x,y}]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 4+6 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((((x^2)^(1/3))-x)/(x^2))dx ,                          ∫ (x/(x (2-x)))dx.

Határozatlan integrál. 10 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált a helyettesítés és/vagy a parciális integrálás módszerével:

∫(e^(Sqrt[x]))dx

Numerikus integrál I. 5 pont.

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-2,5] intervallumon.

f[x_]:=Which[x≤-3,0,x≤-2,3x+9,x≤0,-3/2x,x≤1,0,x≤3,x-1,True,-2x+8]
Plot[-f[x]+1,{x,-4,5},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Orange,Dashed],AspectRatio->Automatic]

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(x^5)-2x  és g(x)=(x^5)+(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Numerikus integrál II. 5 pont.

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [0,2] intervallumon vett integráljának trapézközelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=-1.5(x)^2(x-2)-1
Plot[f[x],{x,-0.2,2.1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[0,2,0.5],None}]

Változás. 20 pont.

Valamely anyag c(t) koncentrációjának a változási sebességét a c'(t)=v(t)=t (e^(-2t))(1/s) függvény írja le.

a) (5 pont) Határozza meg a  c(t) függvény inflexiós helyét (t>0).

b) (7 pont) Határozza meg a v(t) egy primitív függvényét.

c) (3 pont) Határozza meg a változást leíró c(t) függvényt ha c(0)=0.5

d) (5 pont) Mennyi az átlagos változási sebesség a (Subscript[t, 1])=1  és  (Subscript[t, 2])=4 pillanatok között.

Differenciálegyenletek. 20 pont.

A  p'(t)= 3-2m (t)  differenciálegyenlet írja le valamely infúzióban adagolt gyógyszer mennyiségét, ahol m a bevitt össztömeget jelenti mg-ban, a növekedési sebesség (mg/s)-ban adott.

a) (2 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket.

b) (6 pont) Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és  p=0; 0.5; 1; 1.5; 2;  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

c) (12 pont) Adja meg a differenciálegyenlet m(0)=0.5 kezdeti értékhez tartozó megoldását.

Többváltozós függvények. 10 pont.

Ellenőrizze, hogy az 2(x^2)+ 2x y-(y^2)- x+4 y függvénynek van-e lokális szélsőértéke. 
Határozza meg a lehetséges pontokat, és igazolja sejtését az f(x, (Subscript[y, 0])) és f((Subscript[x, 0]), y) függvények ábrázolásával.

Grafikus integrálás. 10 pont.

Az alábbi ábrán valamely F(x) függvény deriváltja látható.
Az ábra alapján mondja meg, hogy az F(x) függvény pozitív, negatív, monoton növő, csökkenő, konvex, ill. konkáv? Ábrázolja az érintőmező elemeit az F(x) szempontjából kritikus helyeken.

Plot[Evaluate[3(x-1)(((x))^3)  (x+1)],{x,-1.1,1.1},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y}]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 4+6 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫(((x^(1/3))-(x^3)(2^x))/(x^3))dx ,                          ∫ ((1+x)/(x (x-2)))dx.

Határozatlan integrál. 10 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált a helyettesítés és/vagy a parciális integrálás módszerével:

∫(1/((e^x)-(e^(-x))))dx

Numerikus integrál I. 5 pont.

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-4,3] intervallumon.

f[x_]:=Which[x≤-3,3,x≤-2,-3(x+3)+3,x≤0,0,x≤2,x,x≤3,6-2x,True,0]-1
Plot[-f[x],{x,-4,5},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},
GridLinesStyle->Directive[Orange,Dashed],AspectRatio->Automatic]

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(Sqrt[x])+3x és g(x)=(Sqrt[x])+2x+3(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Numerikus integrál II. 5 pont.

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-2,0] intervallumon vett integráljának baloldali közelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f]
f[x_]:=1.5(x)(((x+1.5))^2)
Plot[f[x],{x,-2.05,0.2},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-2,0,0.5],None}]

Változás. 20 pont.

Egy rugó rezgésekor a kitérést mérjük, ennek értéke a t pillanatban a s(t) cm. A mozgás sebessége  s'(t)=v(t)=t cos(t)(cm/sec).

a) (5 pont) Mennyi az első kilengés alatt a legnagyobb sebesség, melyik pillanatban éri el ezt a test?

b) (7 pont)  Határozza meg a v(t) egy primitív függvényét.

c) (3 pont) Határozza meg a változást leíró s(t) függvényt ha s(0)=0.

d) (5 pont) Mennyi a kitérés megváltozása a (Subscript[t, 1])=1 sec és  (Subscript[t, 2])=3 sec között?

Differenciálegyenletek. 20 pont.

Az  p'(t)=2p (t)-3  differenciálegyenlet írja le egy adott populáció változását, ahol p(t) az egyedek összmennyisége.A természetes növekedést egyenletes sebességű csökkentés próbálja kompenzálni.

a) (2 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket.

b) (6 pont) Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,p) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és  p=0; 0.5; 1; 1.5; 2;  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

c) (12 pont) Adja meg a differenciálegyenlet p(0)=2 kezdeti értékhez tartozó megoldását.

Többváltozós függvények. 10 pont.

Ellenőrizze, hogy az f(x,y)=-(x^2)+ 2x y+4(y^2)- x+ y függvénynek van-e lokális szélsőértéke. Határozza meg a lehetséges pontokat, és igazolja sejtését az f(x, (Subscript[y, 0])) és f((Subscript[x, 0]), y) függvények ábrázolásával.