2. dolgozat - 2008. tanév

Grafikus integrálás. 10 pont.

Az alábbi ábrán valamely F(x) függvény deriváltja látható.
Az ábra alapján mondja meg (ha lehet!), hogy hol van az F(x) függvénynek zéróhelye,  minimuma, maximuma és inflexiós pontja? Ábrázolja az érintőmező elemeit az F(x) szempontjából kritikus helyeken.

Plot[-Evaluate[((x+1.5)(x-1)  (((x))^2))],{x,-1.6,1.2},AspectRatio->0.6,AxesLabel->{x,y}]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+10 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((((x^2)^(1/5))-(x^3)(2^x))/(x^3))dx ,                          ∫ ((x+1)/(x (1-x)))dx.

Numerikus integrál I. 5 pont.

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-2,5] intervallumon.

f[x_]:=Which[x≤-3,0,x≤-2,3x+9,x≤0,-3/2x,x≤1,0,x≤3,x-1,True,-2x+8]
Plot[f[x],{x,-4,5},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Orange,Dashed],AspectRatio->Automatic]

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(x^10)-3x  és g(x)=(x^10)+3(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Numerikus integrál II. 5 pont.

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [0,2] intervallumon vett integráljának trapézközelítését a megadott beosztás esetén.

f[x_]:=1.5(x)^2(x-2)+1
Plot[f[x],{x,-0.2,2.1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[0,2,0.5],None}]

Változás. 20 pont.

Valamely anyag c(t) koncentrációjának a változási sebességét a c'(t)=v(t)=((5 (e^t))/(2 (((5+(e^t)))^2)))(1/s) függvény írja le.

a) (7 pont)  Határozza meg a v(t) egy primitív függvényét.

b) (3 pont) Határozza meg a változást leíró c(t) függvényt ha c(0)=0.1

c) (5 pont) Mennyi a c(t) változása a (Subscript[t, 1])=1  és  (Subscript[t, 2])=4 pillanatok között.

d) (5 pont) Határozza meg a  c(t) függvény inflexiós helyét (t>0).

Differenciálegyeneletek. 20 pont.

A  p'(t)= 2p (t)  differenciálegyenlet írja le egy sejtpopuláció növekedését, ahol p a sejtek össztömegét jelenti mg-ban, a növekedési sebesség (mg/s)-ban adott. Ezt a növekedést csökkentjük, másodpercenként 3 mg tömegű sejtet távolítunk el a populációból.

a) (4 pont) Írja fel a folyamatos kivonás hatását is tartalmazó differenciálegyenletet a populáció mennyiségének változására. Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket.

b) (6 pont) Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,p) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és  p=0; 0.5; 1; 1.5; 2;  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

c) (10 pont) Adja meg a differenciálegyenlet p(0)=1 kezdeti értékhez tartozó megoldását.

Többváltozós függvények. 10 pont.

Ellenőrizze, hogy az -(x^2)+ x y-(y^2)-2 x+4 y függvénynek van-e lokális szélsőértéke. 
határozza meg a lehetséges pontokat, és igazolja sejtését az f(x, (Subscript[y, 0])) és f((Subscript[x, 0]), y) függvények ábrázolásával.

Görbeillesztés. 5 pont.

Milyen típusú függvényhez illeszkedik az alábbi ponthalmaz? Indokolja a lehetséges megoldásokat. Milyen módszerrel döntené el választása helyességét? Indoklás nélkül a válasz nem fogadható el.

data=Table[{x,
0.05Max[0,(x+0.5Random[Real,{0,1}])^3+0.1Random[Real,{0,1}]/(x+1)]},{x,0,3,0.01}];
ListPlot[data,GridLines->Automatic,AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,2},PlotStyle->{PointSize[0.01]}]

Grafikus integrálás. 10 pont.

Az alábbi ábrán valamely F(x) függvény  deriváltja látható.
Az ábra alapján mondja meg, hogy az F(x) függvény pozitív, negatív, monoton növő, csökkenő, konvex, ill. konkáv? Ábrázolja az érintőmező elemeit az F(x) szempontjából kritikus helyeken.

Plot[Evaluate[(((x-1))^2)(x)  (x+1)],{x,-1.2,1.5},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y}]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+10 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((2x(x^(1/3))-x)/(x^2))dx ,                          ∫ ((1-x)/(x (3-x)))dx.

Numerikus integrál I. 5 pont.

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-3,4] intervallumon.

f[x_]:=Which[x≤-3,3,x≤-2,-x,x≤0,0,x≤2,x,x≤3,6-2x,True,0]-1
Plot[f[x],{x,-4,5},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},
GridLinesStyle->Directive[Orange,Dashed],AspectRatio->Automatic]

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(e^x)+4x és g(x)=(e^x)+2x+2(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Numerikus integrál II. 5 pont.

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-2,0] intervallumon vett integráljának baloldali közelítését a megadott beosztás esetén.

f[x_]:=1.5(x)^2(x+2)-1
Plot[f[x],{x,-2.05,0.2},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-2,0,0.5],None}]

Változás. 20 pont.

Egy járvány esetén a beteg egyedek arányát a t pillanatban a p(t) függvény írja le. Az időt napokban mérjük. Ennek változási sebessége  p'(t)=v(t)=((1/5)(e^(-t/5))-(1/25) (e^(-t/5)) t)(1/nap).

a) (7 pont)  Határozza meg a v(t) egy primitív függvényét.

b) (3 pont) Határozza meg a változást leíró p(t) függvényt ha p(0)=0.

c) (5 pont) A népesség hányadrésze betegedett meg az első napon ( (Subscript[t, 1])=0  és  (Subscript[t, 2])=2).

d) (5 pont) Mennyi a betegek arányának maximális értéke?  Mikor kezdődik a betegek számának csökkenése?

Differenciálegyenletek. 20 pont.

Az  m'(t)=-2m (t)  differenciálegyenlet írja le egy adott gyógyszer kiürülését, ahol m tömeg mg-ban, a kiürülési sebesség (mg/s)-ban adott. Ezt a gyógyszert a beteg infúzióban kapja, amelynek sebessége állandó,  3(mg/s).

a) (4 pont) Írja fel az infúzió hatását is tartalmazó differenciálegyenletet a gyógyszer mennyiségének változására. Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket.

b) (6 pont) Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és  m=0; 0.5; 1; 1.5; 2;  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

c) (10 pont) Adja meg a differenciálegyenlet m(0)=0 kezdeti értékhez tartozó megoldását.

Többváltozós függvények. 10 pont.

Ellenőrizze, hogy az f(x,y)=(x^2)+ 2x y-4(y^2)- x+4 y függvénynek van-e lokális szélsőértéke. Határozza meg a lehetséges pontokat, és igazolja sejtését az f(x, (Subscript[y, 0])) és f((Subscript[x, 0]), y) függvények ábrázolásával.

Görbeillesztés. 5 pont.

Milyen típusú függvényhez illeszkedik az alábbi ponthalmaz? Indokolja a lehetséges megoldásokat. Milyen módszerrel döntené el választása helyességét? Indoklás nélkül a válasz nem fogadható el.

data=Table[{x,
5E^(-0.2x+0.3Sin[Random[Real,{0,1}]])(1+0.2 Random[Real,{0,1}])},{x,0,15,0.05}];
ListPlot[data,GridLines->Automatic,PlotRange->{0,7},AspectRatio->Automatic,PlotStyle->{PointSize[0.01]}]