2. dolgozat - 2007. tanév

Grafikus integrálás. 15 pont.

Az alábbi ábrán valamely F(x) függvény deriváltja látható.

a) (7 pont) Az ábra alapján mondja meg (ha lehet!), hogy hol van az F(x) függvénynek zéróhelye,  minimuma, maximuma és inflexiós pontja?

b) (8 pont) Rajzolja fel az ábra mellé az érintőmező elemeit a szükségesnek ítélt helyeken. Vázolja az F(x) függvény egy vagy több lehetséges grafikonját.

Plot[-Evaluate[((x+3)^3(((x+1))^2)  (x))],{x,-3.1,0.05},AspectRatio->0.8,AxesLabel->{x,y}]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 4+6 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((((2x)^(1/3))-(x^2)sin(x))/(x^2))dx ,                          ∫ ((x-1)/(x (2-x)))dx.

Numerikus integrál I. 5 pont.

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-2,5] intervallumon.

f[x_]:=Which[x≤-3,0,x≤-2,3x+9,x≤0,-3/2x,x≤1,0,x≤3,x-1,True,-2x+8];
Plot[f[x],{x,-4,5},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},AspectRatio->Automatic]

Numerikus integrál II. 5 pont.

Rajzolja fel  az alábbi függvény [-1,1] intervallumon vett integráljának jobboldali és trapézközelítését a megadott beosztás esetén.

f[x_]:=1.5x(x+1)^2(x-1);
Plot[f[x],{x,-1.3,1.1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-1.,1,0.4],None},AspectRatio->Automatic]

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(x^4)-2x  és g(x)=(x^4)+x+3(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Változás. 25+5 pont.

Valamely anyag koncentrációjának (c(t)) a kiürülési sebességét a c'(t)=v(t)=-(t/(4(((1+(t^2)))^2)))(g/s) függvény írja le.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) egy primitív függvényét.

b) (5 pont) Határozza meg a változást leíró c(t) függvényt ha c(0)=1;

c) (5 pont) Határozza meg az átlagos változási sebességet a (Subscript[t, 1])=1  és  (Subscript[t, 2])=3 pillanatok között.

d) (5 pont) Határozza meg a  c(t) függvény inflexiós helyét (t>0).

e) Bónuszfeladat (5 pont): Marad-e anyag a szervezetben (t -> 0), ha igen, mekkora töménységben?

Differenciálegyenletek. 20+5 pont.

Az  m'=(((1.5-m))^2)  differenciálegyenlet egy másodrendű reakció egyenlete.

a) (4 pont) Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3 és  m=0; 0.5; 1; 1.25; 1.5; 1.75; 2  értékekhez tartozó rácspontokban.

b) (6 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket.

c) (10 pont) Határozza meg a differenciálegyenlet m(0)=0.25 kezdeti értékhez tartozó megoldását.

d) Bónusz feladat (5 pont). Melyik pillanatban éri el a keletkezett anyag mennyisége az 1 értéket. azaz mikor lesz  m(T)=1.

Görbeillesztés I. 5 pont.

Becsülje meg és rajzolja be az alábbi adathalmaz regressziós egyenesét és annak képletét.

data=Table[{x,2-0.5 x + 0.3Sin[ Random[]x]Random[Real, {-1,1}]+
0.3Sin[Pi/2 x-1]Random[Real,{0,1}]},{x,0,4,0.01}];
ListPlot[data,GridLines->Automatic,AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-0.5,2.5}]

Görbeillesztés II. 5 pont.

Milyen típusú függvényhez illeszkedik az alábbi ponthalmaz? Indokolja a lehetséges megoldásokat.

data=Table[{x+Random[Real,{0,0.5}],
6/(1+x)+
0.6Random[Real,{0,1}]Sin[Random[Real,{0,1}]+Pi x]},{x,0,12,0.05}];
ListPlot[data,GridLines->Automatic,AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-0.5,6.5},PlotStyle->{PointSize[0.01]}]

Grafikus integrálás. 15 pont.

Az alábbi ábrán valamely F(x) függvény  deriváltja látható.

a) (7 pont) Az ábra alapján mondja meg, hogy az F(x) függvény pozitív, negatív, monoton növő, csökkenő, konvex, ill. konkáv?

b) (8 pont) Rajzolja fel az érintőmező elemeit a fontosnak ítélt helyeken. Vázolja az F(x) függvény egy vagy több lehetséges grafikonját .

Plot[Evaluate[0.8(x-2)^3(((x))^2)  (x+1)],{x,-1.03,2.2},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y}]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 4+6 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((2(Sqrt[x])-x-(x^2)(e^x)))/(x^2))dx ,                          ∫ ((1-x)/(x (3-x)))dx.

Numerikus integrál I. 5 pont.

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-3,4] intervallumon.

f[x_]:=Which[x≤-3,3,x≤-2,-x,x≤0,0,x≤2,x,x≤3,6-2x,True,0]-1;
Plot[f[x],{x,-4,5},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},AspectRatio->Automatic]

Numerikus integrál II. 5 pont.

Rajzolja fel  az alábbi függvény [0,2] intervallumon vett integráljának baloldali és trapézközelítését a megadott beosztás esetén.

f[x_]:=x(x-1)(x-2);
Plot[f[x],{x,-.2,2.2},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-1.2,2.2,0.4],{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},AspectRatio->Automatic]

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=sin(x)+3x és g(x)=sin(x)+x+2(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Változás. 25+5 pont.

Egy járvány esetén a beteg egyedek arányát a t pillanatban a p(t) függvény írja le. Ennek változási sebessége  p'(t)=v(t)=(1/2) (t^2) (e^(-t))(1/nap).

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) egy primitív függvényét.

b) (5 pont) Határozza meg a változást leíró p(t) függvényt ha p(0)=0.

c) (5 pont) A népesség hányadrésze betegedett meg a harmadik napon ( (Subscript[t, 1])=2  és  (Subscript[t, 2])=3).

d) (5 pont) Mikor növekszik leggyorsabban a betegek száma (inflexiós pont)?

e) Bónuszfeladat (5 pont): A népesség hányadrésze betegszik meg  öszesen (t -> 0)?

Differenciálegyenletek. 20+5 pont.

Az  p'=2p - 10 differenciálegyenlet egy szaporodási folyamatot leíró egyenlet.

a) (6 pont) Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,p) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és  m=0;1; 2; 3;4;4.5;5;5.5;6;  értékekhez tartozó rácspontokban.

b) (4 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket.

c) (10 pont) Adja meg a differenciálegyenlet p(0)=4 kezdeti értékhez tartozó megoldását.

d) Bónusz feladat (5 pont). Melyik pillanatban hal ki a populácó, azaz mikor lesz  p(T)=0.

Görbeillesztés I. 5 pont.

Becsülje meg és rajzolja be az alábbi adathalmaz regressziós egyenesét és annak képletét.

data=Table[{x,-1+0.5 x + 0.3Sin[ Random[]x]Random[Real, {-1,1}]+
0.3Sin[Pi/2 x-2]Random[Real,{0,1}]},{x,0,4,0.01}];
ListPlot[data,GridLines->Automatic,AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1.5,1.5}]

Görbeillesztés II. 5 pont.

Milyen típusú függvényhez illeszkedik az alábbi ponthalmaz? Indokolja a lehetséges megoldásokat.

data=Table[{x+Random[Real,{0,0.5}],
Max[6-6/(1+x)+
0.6Random[Real,{0,1}]Sin[Random[Real,{0,1}]+1.5Pi x],0]},{x,0,12,0.05}];
ListPlot[data,GridLines->Automatic,AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-0.5,6.5},PlotStyle->{PointSize[0.01]}]