2. dolgozat - 2006. tanév

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=(1/(1+(e^x)))  függvény másodfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=1 hely körül.

Grafikus integrálás. 10+5 pont.

Az alábbi ábrán valamely F(x) függvény deriváltja látható.
a) Az ábra alapján mondja meg, hogy hol van az F(x) függvénynek minimuma, maximuma és inflexiós pontja? 
b) Rajzolja fel az érintőmező elemeit az x=-1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5  helyeken. Vázolja az F(x) függvény egy vagy több lehetséges grafikonját.

Plot[-Evaluate[((((x-1))^3)  (x+1))],{x,-1.15,1.7},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y}]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+5 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((((2x)^(1/3))-(x^2)sin(x))/(x^2))dx ,                          ∫ ((x-1)/(x (2-x)))dx.

Numerikus integrál. 5 pont.

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-4,6] intervallumon.

f[x_]:=Which[x≤-3,-2,x≤-2,0,x≤0,2,x≤2,1,x≤3,-1,True,0];
Plot[f[x],{x,-4,6},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->Automatic,AspectRatio->Automatic]

Területszámítás. 5+5 pont.

Határozza meg az f(x)=(x^3)-x  és g(x)=(x^3)+x+(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét

Változás. 25 pont.

Valamely anyag koncentrációjának (c(t)) a változási sebességét (logisztikus növekedés) a  c'(t)=v(t)=  ((10 (e^t))/(((10+(e^t)))^2))(g/s) függvény írja le.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) egy primitív függvényét.

b) (5 pont) Határozza meg a koncentrációt leíró c(t) függvényt ha c(0)=0.1;

c) (5 pont) Határozza meg az átlagos változási sebességet a (Subscript[t, 1])=0  és  (Subscript[t, 2])=ln(2) pillanatok között.

d) (5 pont) Határozza meg a  c(t) függvény érintőjének egyenletét a  (Subscript[t, 0])=0 helyen.

Differenciálegyenletek. 20 pont.

Az  m'=-2m +3 differenciálegyenlet egy egyszerű telítődési folyamat egyenlete.

a) (5 pont) Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3 és  m=0; 0.5; 1; 1.25; 1.5; 1.75; 2  értékekhez tartozó rácspontokban.

b) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket.

c) (10 pont) Határozza meg a differenciálegyenlet m(0)=0.1 kezdeti értékhez tartozó megoldását.

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=x (e^(-x))  függvény másodfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0 hely körül.

Grafikus integrálás. 10+5 pont.

Az alábbi ábrán valamely F(x) függvény deriváltja látható.
a) Az ábra alapján mondja meg, hogy hol van az F(x) függvénynek minimuma, maximuma és inflexiós pontja? 
b) Rajzolja fel az érintőmező elemeit az x=-1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5  helyeken. Vázolja az F(x) függvény egy vagy több lehetséges grafikonját.

Plot[Evaluate[(((x-1))^1)  (((x+1))^2)],{x,-1.4,1.2},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y}]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+5 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((3(Sqrt[x])-(x^2)sin(x))/(x^3))dx ,                          ∫ ((2-x)/(x (1-2x)))dx.

Numerikus integrál. 5 pont.

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-4,6] intervallumon.

f[x_]:=Which[x≤-3,1,x≤-2,2,x≤0,0,x≤2,-1,x≤3,1,True,0];
Plot[f[x],{x,-4,5},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},AspectRatio->Automatic]

Területszámítás. 5+5 pont.

Határozza meg az f(x)=(x^4)-x és g(x)=(x^4)+x+(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Változás. 25 pont.

Valamely anyag koncentrációjának (c(t)) a változási sebességét a  c'(t)=v(t)= ((10 (e^t))/((10+(e^t))))(g/s) függvény írja le.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) egy primitív függvényét.

b) (5 pont) Határozza meg a koncentrációt leíró c(t) függvényt ha c(0)=0.1;

c) (5 pont) Határozza meg az átlagos változási sebességet a (Subscript[t, 1])=0  és  (Subscript[t, 2])=2 pillanatok között.

d) (5 pont) Hol van az c(t) függvénynek szélsőértéke?

Differenciálegyenletek. 20 pont.

Az  m'=2(((3-m))^1.5) differenciálegyenlet (0 ≤m≤3) egy kémiai reakció sebességegyenlete.

a) (5 pont) Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3 és  m=0; 0.5; 1; 1.5; 2; 2.5;3  értékekhez tartozó rácspontokban.

b) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket.

c) (10 pont) Adja meg a differenciálegyenlet m(0)=0.1 kezdeti értékhez tartozó megoldását.