2. dolgozat - 2005. tanév

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=ln((x^2)+1)  függvény másodfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0 hely körül.

Grafikus integrálás. 13 pont.

Hol van az alábbi ábrán látható függvény primitív függvényeinek minimuma, maximuma és inflexiós pontja? Rajzolja fel az érintőmező elemeit az x=-1, -0.5, 0, 0.5, 1  helyeken.  Vázolja egy primitív függvény menetét.

Plot[-Evaluate[((((x-1))^2) x (x+1))/.(x->(-x))],{x,-1.15,1.5},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y}]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+10 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((((3x)^(1/3))+(x^2))/(x^3))dx ,                          ∫ ((x+1)/((x-1) (2+x)))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítés, parciális integrálás. 15 pont.

Alkalmazza a helyettesítéses és/vagy parciális integrálás szabályát az alábbi integrál kiszámításában!

∫(( x (sin^3) x +cos x)/((sin^2) x))dx.

Területsámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(x^2)-4  és g(x)=2x-1 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Változás. 9+3 pont.

Valamely anyag koncentrációjának a változási sebességét a  v(t)=  (e^(-2 t)) (2-(e^t))(g/s) függvény írja le.  Határozza veg az átlagos változási sebességet a (Subscript[t, 1])=0  és  (Subscript[t, 2])=ln(2) pillanatok között. Hol van az (∫_0^t)v(τ)dτ függvénynek maximuma?

Numerikus integrál. 5 pont.

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-4,5] intervallumon.

f[x_]:=Which[ x≤-3,0,x≤-2, 2, x≤0,3,x≤2,2,x≤3,1,True,0];
Plot[f[x],{x,-4,6},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},{0,1,2,3}},AspectRatio->Automatic]

Numerikus integrál. 5 pont.

Közelítse az (∫_0^2)((x^2)-1)dx integrált a jobboldali közelítés módszerével, az intervallum négy egyenlő részre osztásával.

Kétváltozós függvény. 3+6+6 pont

Határozza meg az  f(x,y) =ln((e^(-y))-x) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y) koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,-1,1  értékekhez tartozó  szintvonalakat is. Ellenőrizze a parciális deriváltak vizsgálatával, hogy van-e a függvénynek lokális szélsőértéke.

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=(((x^3)+1)^(1/4))  függvény másodfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0 hely körül.

Grafikus integrálás. 13 pont.

Hol van az alábbi ábrán látható függvény primitív függvényeinek minimuma, maximuma és inflexiós pontja? Rajzolja fel az érintőmező elemeit az x=-1, -0.5, 0, 0.5, 1  helyeken.  Vázolja egy primitív függvény menetét.

Plot[(x+1)^2x(x-1),{x,-1.5,1.2},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y}]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+10 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((x-(x^(4/3)))/(x^(1/3)))dx ,                          ∫ ((1- x)/(x (1+x)))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítés, parciális integrálás. 15 pont.

Alkalmazza a helyettesítéses és/vagy parciális integrálás szabályát az alábbi integrál kiszámításában!

∫((ln(x)- (x^3) ln(x))/(x  ))dx.

Területsámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=x-(x^2)+2 és g(x)=2x függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Változás. 9+3 pont.

Valamely anyag keletkezésének sebességét a  v(t)=  (e^(-t))(1-(e^(-t)))(g/s) függvény írja le. Határozza meg a  (Subscript[t, 1])=1  és  (Subscript[t, 2])=4  másodpercek között keletkezett anyag mennyiségét. Mennyi az (∫_0^t)v(τ)dτ függvény  meredeksége a  t=ln(2) helyen?

Numerikus integrál. 5 pont.

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-2,3] intervallumon.

f[x_]:=Which[ x≤-2,0,x≤0, 1, x≤3,3,x≤4,2,x≤5,1,True,0];
Plot[f[x],{x,-3,6},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},{0,1,2,3}},AspectRatio->Automatic]

Numerikus integrál. 5 pont.

Közelítse az (∫_0^2)|2x -1|dx integrált a baloldali közelítés módszerével, az intervallum négy egyenlő részre osztásával.

Kétváltozós függvény. 3+6+6 pont

Határozza meg az  f(x,y) =((ln(x))/(ln((y^2)))) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,-1,1  értékekhez tartozó  szintvonalakat is. Ellenőrizze a parciális deriváltak vizsgálatával, hogy van-e a függvénynek lokális szélsőértéke.