2. dolgozat - 2002. tanév

Elméleti kérdés. 10 pont.

Az integrálszámítás alaptétele és a Newton-Leibniz formula.

Grafikus integrálás. 10 pont.

Vázolja egy olyan függvény grafikonját, aminek a deriváltja az alábbi ábrán látható:

Plot[(x-1)x(((x+1.5))^2),{x,-1.8,1.1},AspectRatio->Automatic]

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=cos(ln(x+1))  függvény másodfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0 hely körül.

Határérték. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(( (e^(-x))-e)/(x-1)) függvény határértékét az értelmezési tartomány határainál.

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 4+6 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((((2x)^(1/3))-1)/x)dx ,                          ∫ (1/((-1+x) (2+x)))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítéses, parciális integrálás. 8+7 pont.

Találja meg a megfelelõ integrálási szabályokat, és végezze el az integrálást!

∫(e^x) ((1/(1-(e^x)))- x (e^(-3x)))dx.

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=2x+(x^3) -1 és g(x)=3(x^2)-1 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Oldódás. 10 pont.

Valamely anyag keletkezésének sebességét a  v(t)= (t/(((1+(t^2)))^3)) (g/s) függvény írja le. Határozza meg a  (Subscript[t, 1])=1  és  (Subscript[t, 2])=4  másodpercek között keletkezett anyag mennyiségét.

Kétváltozós függvény. 5+5+5 pont.

Határozza meg az  f(x,y) =ln(y)-2ln(x) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y) koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,-1,1  értékekhez tartozó  szintvonalakat is. Ellenõrizze a parciális deriváltak vizsgálatával,.hogy van-e a függvénynek lokális szélsõértéke.

Elméleti kérdés. 10 pont.

A Taylor polinomok definíciója és képlete.

Grafikus integrálás. 10 pont.

Vázolja egy olyan függvény grafikonját, aminek a deriváltja az alábbi ábrán látható:

Plot[(x-1)x^2(x+1.5),{x,-1.65,1.3},AspectRatio->Automatic]

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=ln(sin(x)+1)  függvény másodfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0 hely körül.

Határérték. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(x/((e^(-x))-1)) függvény határértékét az értelmezési tartomány határainál.

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 4+6 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫(((x^2)-1)/(Sqrt[x]))dx ,                          ∫ ((1+2 x)/((-3+x) (2+x)))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítéses, parciális integrálás. 8+7 pont.

Találja meg a megfelelõ integrálási szabályokat, és végezze el az integrálást!

∫(1/(ln(x))) ((((ln(x)))^2)x-(1/x))dx.

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=x-(x^2)+(x^3) -2 és g(x)=3x-2 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Mozgás. 10 pont.

Valamely mozgó test sebességét a  v(t)=tsin(3t)(m/s) függvény írja le.  Legyen s(0)=0.5. Határozza meg a  (Subscript[t, 1])=0  és  (Subscript[t, 2])=3  másodpercek között az átlagos változási sebességet.

Kétváltozós függvény. 5+5+5 pont.

Határozza meg az  f(x,y) =((ln(y))/(ln(x))) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,-1,1  értékekhez tartozó  szintvonalakat is. Ellenõrizze a parciális deriváltak vizsgálatával,.hogy van-e a függvénynek lokális szélsõértéke.