2. dolgozat - 2001. tanév

Elméleti kérdés. 10 pont.

A határozott integrál definíciója és geometriai jelentése.

Elemi függvények. 5+5 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

ln ((e^((x^2)-3x)));   ((x-2)/(x+3)) .

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=ln cos(x)  függvény harmadfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0 hely körül.

Határérték. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(( sin x)/(x(x-π))) függvény határértékét az értelmezési tartomány határainál.

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+8 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((1/(((x-1))^2))+(((x^2)+1)/x))dx ,                          ∫ ((x+1)/((x^2)-4))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítéses, parciális integrálás. 8+4 pont.

Találja meg a megfelelõ integrálási szabályokat, és végezze el az integrálást!

∫(e^(2x)) ((x^2)- (e^(-x)))dx.

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=-4x-(x^2)+(x^3) -1 és g(x)=-2x-1 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Oldódás. 10 pont.

Valamely anyag keletkezésének sebességét a  v(t)= ((10 (e^t))/(((10+(e^t)))^2)) (g/s) függvény írja le.  Határozza meg a  (Subscript[t, 1])=1  és  (Subscript[t, 2])=2  másodpercek között keletkezett anyag mennyiségét.

Kétváltozós függvény. 5+5+5 pont.

Határozza meg az  f(x,y) =ln(y-1)/x függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,-1,1  értékekhez tartozó  szintvonalakat is. Ellenõrizze, van-e a függvénynek lokális szélsõértéke.

Elméleti kérdés. 10 pont.

Az integrálszámítás alaptétele és a Newton-Leibniz formula.

Elemi függvények. 5+5 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

(Sqrt[(e^(2x-1))]) ;   ((x-3)/(x+1))

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=(Sqrt[(x^2)+1])  függvény harmadfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0 hely körül

Határérték. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=((x^2)/((2^x)-1)) függvény határértékét az értelmezési tartomány határainál.

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+8 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((1/(Sqrt[x+2]))+((x+(x^(1/3)))/x))dx ,                          ∫ ((x+2)/((x^2)-4x))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítéses, parciális integrálás. 8+4 pont.

Találja meg a megfelelõ integrálási szabályokat, és végezze el az integrálást!

∫cos(x) ((1/((sin^2)(x)))- tg(x))dx

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=x-4(x^2)+(x^3) -1 és g(x)=-2x-1 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Oldódás. 10 pont.

Valamely anyag keletkezésének sebességét a  v(t)= (((t+1))^2) (e^(-t)) (g/s) függvény írja le.  Határozza meg a  (Subscript[t, 1])=0  és  (Subscript[t, 2])=3  másodpercek között az átlagos változási sebességet.

Kétváltozós függvény. 5+5+5 pont.

Határozza meg az  f(x,y) =(Sqrt[(y^3)/x]) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,-1,1 ,-2,2 értékekhez tartozó  szintvonalakat is. Ellenõrizze, van-e a függvénynek lokális szélsõértéke.