2. dolgozat - 2000. tanév

Taylor polinom. 10 pont

Keresse meg az f(x)=sin((e^(2x))-1)  függvény másodfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0 hely körül.

Határérték. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=((3^(-x))/((x^2)-x-2)) függvény határértékét az értelmezési tartomány határainál.

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+10 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((1/(x^3))+((x+1)/x))dx ,                          ∫ ((x+1)/(x(x-2)))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítéses, parciális integrálás. 16 pont.

Találja meg a megfelelõ integrálási szabályokat, és végezze el az integrálást!

∫ln(x) (x-(1/x))dx.

Területszámítás. 12 pont.

Határozza meg az f(x)=(x^3)-2 (x^2)-2 x+1 és g(x)=x+1 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Integrálközép, mozgás. 15 pont.

Egy test gyorsulását az a(t)=sin(2t)-cos(t-(π/4)) (m/(s^(2 ))) függvény írja le.  Határozza meg a test helyzetének idõbeli változását, ha v(0)=2  és  s((π/2))=1. Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=0    és  (Subscript[t, 2])=π  másodpercek között?

Oldódás. 10 pont.

Valamely anyag oldódási sebességét a  v(t)=t (e^(-(t^2)+2)) (g/s) függvény írja le.  Határozza meg a (Subscript[t, 1])=1   és  (Subscript[t, 2])=2  másodpercek között feloldódott anyag mennyiségét, ha a (Subscript[t, 0])=0 pillanatban a kezdeti mennyiség nulla.

Kétváltozós függvény szintvonalai. 12 pont.

Határozza meg az  f(x,y)=(1/(Sqrt[-y + cos(2x)])) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,-1,1,-2,2   értékekhez tartozó  szintvonalakat is.

Kétváltozós függvény szélsőértékei. 10 pont.

Keresse meg az f (x,y)=(x^2)-3(y^2)+x-2y+π;  függvény kritikus helyeit, állapítsa meg, hogy szélsõértékek-e.

Taylor polinom. 10 pont

Keresse meg az f(x)=(e^((sin^2)(x)))  függvény másodfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0  hely körül.

Határérték. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=((2^(x-1))/((x^2)+x)) függvény határértékét az értelmezési tartomány határainál.

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+10 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫ ((1/(x^4))-(((x^2)-1)/(Sqrt[x])))dx ,           ∫ (1/((x+2)(x-3)))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítéses, parciális integrálás. 16 pont.

Találja meg a megfelelõ integrálási szabályokat, és végezze el az integrálást!

∫sin(x) (2x-1-(1/((cos^3)(x))))dx.

Területszámítás. 12 pont.

Határozza meg az f(x)=(x^3)+ (x^2)-3 x+2 és g(x)=-x+2 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Integrálközép, mozgás. 15 pont.

Egy test gyorsulását az a(t)=(t^2)-(1/(t+1)) (m/(s^(2 ))) függvény írja le.  Határozza meg a test helyzetének idõbeli változását, ha v(0)=1  és  s(1)=2. Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=0    és  (Subscript[t, 2])=2  másodpercek között?

Oldódás. 10 pont.

Valamely gyógyszer (tabletta) bevétele után a  gyógyszer mennyiségének a változási sebességét a  v(t)=(1-t)(e^(-2t)) (g/(s )) függvény írja le.  Határozza meg gyógyszer mennyiségét leíró függvényt, ha a (Subscript[t, 0])=0 pillanatban a kezdeti mennyiség nulla.

Kétváltozós függvény szintvonalai. 12 pont.

Határozza meg az  f(x,y)=ln(y+(e^x)) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,-1,1,-2,2   értékekhez tartozó  szintvonalakat is.

Kétváltozós függvény szélsőértékei. 10 pont.

Keresse meg az f (x,y)=2(x^2)+(y^2)-2x+y  függvény kritikus helyeit, állapítsa meg, hogy szélsõértékek-e.