2. dolgozat - 1999. tanév

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=(e^(sin(x)))  függvény harmadfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0  hely körül.

Függvények összehasonlítása, határértékek. 5+5 pont.

Határozza meg az alábbi határértékeket. Az  eredmény alapján hasonlítsa össze a kifejezésben szereplõ függvények viselkedését az adott hely környezetében.

({{(lim_(x->-∞)) (((x^4)+2x)/(-(x^6)+4(x^3)+2x));  , (lim_(x->0)) ((ln((x^2)+1))/x). }})

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫(x^3) (x-(1/(x^4))-(1/(x^(1/3))))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítéses, parciális integrálás. 10+5 pont.

Találja meg a megfelelõ integrálási szabályokat, és végezze el az integrálást!

∫(e^x) (x-(1/((((e^x)-1))^3)))dx;    ∫(x/((x-1)(x-2)))dx.

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=2 (x^2)-2 x-1 és g(x)=(x^2)-x-1 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Integrálközép, mozgás. 10 pont.

Egy test gyorsulása a “t” másodpercben  a(t)=3sin(2t) (m/(s^(2 ))).  Határozza meg a test helyzetének idõbeli változását, ha v(0)=1  és  s((π/2))=2. Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=π    és  (Subscript[t, 2])=2π  másodpercek között?

Kétváltozós függvény szintvonalai. 10 pont.

Határozza meg az  f(x)=ln(x-(y^2)) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,1/2,1   értékekhez tartozó  szintvonalakat is.

Parciális deriváltak. 10 pont.

Számolja ki az  f(x,y)= ln y +x^2+tg(y x^3)  függvény  ((∂f(x,y))/(∂x)),  (((∂^2)f(x,y))/(∂x ∂y))  parciális deriváltjait!

Kétváltozós függvény szélsőértékei. 10 pont.

Keresse meg az f (x)=-(x^2)+2(y^2)-x y+x-y  függvény kritikus helyeit, állapítsa meg, hogy szélsõértékek-e.

Differenciálegyenlet. 10 pont.

Adja meg az  x’=x(4-x)-1  differenciálegyenlet egyensúlyi helyzeteit, jellemezze õket vonzás és taszítás szempontjából. Vázolja az egyenlet iránymezõjét és a megoldások menetét.

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=ln(cos(x))  függvény harmadfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0  hely körül.

Függvények összehasonlítása, határértékek. 5+5 pont.

Határozza meg az alábbi határértékeket. Az  eredmény alapján hasonlítsa össze a kifejezésben szereplõ függvények viselkedését az adott hely környezetében.

({{(lim_(x->-∞)) (((x^3)-2x)/(-(x^3)-2(x^2)+x));  , (lim_(x->0)) (((e^x)-1)/(x^2)) . , }})

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫x ((x^2)-(3/(x^2))-(1/(Sqrt[x])))dx;     ∫(1/(x(3-x)))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítéses, parciális integrálás. 10+5 pont.

Találja meg a megfelelõ integrálási szabályokat, és végezze el az integrálást!

∫ln(x) (x-1+(1/x))dx;   ∫(1/(x(3-x)))dx.

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=2 (x^2)-2 x-1 és g(x)=(x^2)-x-1 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Integrálközép, mozgás. 10 pont.

Egy test gyorsulása a “t” másodpercben  a(t)=cos(2t) (m/(s^(2 ))).  Határozza meg a test helyzetének idõbeli változását, ha v(0)=3  és  s((π/3))=1. Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=π    és  (Subscript[t, 2])=3π  másodpercek között?

Kétváltozós függvény szintvonalai. 10 pont.

Határozza meg az  f(x)=(Sqrt[x+(y^3)]) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,1/2,1   értékekhez tartozó  szintvonalakat is.

Parciális deriváltak. 10 pont.

Számolja ki az  f(x,y)=  (e^x) (y^2)+cos(y + (1/x))   függvény  ((∂f(x,y))/(∂y)),  (((∂^2)f(x,y))/(∂x ∂y))  parciális deriváltjait!

Kétváltozós függvény szélsőértékei. 10 pont.

Keresse meg az f (x)=-(x^2)+2(y^2)-x y+x-y  függvény kritikus helyeit, állapítsa meg, hogy szélsõértékek-e.

Differenciálegyenlet. 10 pont.

Adja meg az  x’=(x-1)(x-3)-1  differenciálegyenlet egyensúlyi helyzeteit, jellemezze õket vonzás és taszítás szempontjából. Vázolja az egyenlet iránymezõjét és a megoldások menetét.