2. dolgozat - 1998. tanév

Függvényvizsgálat. 20 pont.

Végezzen teljes függvényvizsgálatot (ért. tartomány, monotonitás, szélsõértékek, konvexitás, inflexiós pontok, határérértékek) az f(x)=x (e^(-(x^2))) függvényen.

Függvények összehasonlítása, határértékek. 5 pont.

Határozza meg az alábbi határértékeket. Az  eredmény alapján hasonlítsa össze a kifejezésben szereplõ függvények viselkedését az adott hely környezetében.

(lim_(x->∞)) (((x^5)+x)/( -(x^6)+(x^3)+2x                      ))

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫(x^2) (x-(1/(x^(1/5))))dx

Határozatlan integrál, helyettesítés, parciális integrálás. 15 pont.

Találja meg a megfelelõ integrálási szabályokat, és végezze el az integrálást!

∫cos(x) (x-(1/(((sin(x)-1))^3)))dx

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=2 (x^2)-2 x-1 és g(x)=(x^2)-x-1 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Integrálközép, mozgás. 10 pont.

Egy mozgó test gyorsulása a “t” másodpercben  a(t)=10  (e^(-2t+1)) (m/(s^(2 ))).  Határozza meg az útfüggvényt, ha v(0)=0  és  s(0)=1. Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 0])=1    és  (Subscript[t, 1])=3  másodpercek között?

Kétváltozós függvény szintvonalai. 10 pont.

Határozza meg az  f(x)=(Sqrt[x+(y^3)]) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,1/2,1   értékekhez tartozó  szintvonalakat is.

Parciális deriváltak. 10 pont.

Számolja ki az  f(x,y)= sin x +(y^3)+log(y (x^2))  függvény  ((∂f(x,y))/(∂x)),  (((∂^2)f(x,y))/(∂x ∂y))parciális deriváltjait!

Kétváltozós függvény szélsőértékei. 10 pont.

Keresse meg az f (x)=(x^2)+2 x+2 (y^2)-y-2x y  függvény kritikus helyeit, állapítsa meg, hogy szélsõértékek-e.

Görbeillesztés. 5 pont.

Jellemezze az ábrázolt ponthalmazok koordinátái közti kapcsolatot. Milyen függvény illesztését javasolja? Ha szükséges, javasoljon transzformációt is!

data=Table[{Random[Real,{0,3}],Random[Real,{0,1}]}, {i,0,100}];
data1=data/.{x_,y_}->{x,E^(x)+(1/5) y };
data2=data/.{x_,y_}->{x,1+x/2+(1/5) y };
Show[GraphicsArray[Partition[
       {
				ListPlot[data1,PlotRange->{0,20}],
		    ListPlot[data2,PlotRange->{0,3}]
			},2]]]

Függvényvizsgálat. 20 pont.

Végezzen teljes függvényvizsgálatot (ért. tartomány, monotonitás, szélsõértékek, konvexitás, inflexiós pontok, határérértékek) az f(x)=(x^2) (e^(-x)) függvényen.

Függvények összehasonlítása, határértékek. 5 pont.

Határozza meg az alábbi határértéket. Az  eredmény alapján hasonlítsa össze a kifejezésben szereplõ függvények viselkedését az adott hely környezetében.

(lim_(x->-∞)) ((-(x^4)+x+1)/(2(x^4)+(x^2)-3x))

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫(((x^2)+x+2)/(Sqrt[(x^3)]))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítéses, parciális integrálás. 15 pont.

Találja meg a megfelelõ integrálási szabályokat, és végezze el az integrálást!

∫(e^x)(x-(1/((((e^x)+1))^2)))dx

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)= (x^2)+2 x és g(x)=2(x^2)+7x+4 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Integrálközép, mozgás. 10 pont.

Egy mozgó test gyorsulása a “t” másodpercben  a(t)=10  cos πt (m/(s^(2 ))). Határozza meg az útfüggvényt, ha v(0)=0  és  s(0)=1. Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 0])= 0.25   és  (Subscript[t, 1])=0.5  másodpercek között?

Kétváltozós függvény szintvonalai. 10 pont.

Határozza meg az  f(x)=(Sqrt[log (x)-y]) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,1,2   értékekhez tartozó  szintvonalakat is.

Parciális deriváltak. 10 pont.

Számolja ki az f(x,y)= tg(x (y^2))+(e^(y+ (x^2) )) függvény  ((∂f(x,y))/(∂x)),  (((∂^2)f(x,y))/(∂x ∂y))parciális deriváltjait!

Kétváltozós függvény szélsőértékei. 10 pont.

Keresse meg az f (x)=6+2 x-x^2+7 y+2 x y+2 y^2  függvény kritikus helyeit, határozza meg, hogy szélsõértékek-e.

Görbeillesztés. 5 pont.

Jellemezze az ábrázolt ponthalmazok koordinátái közti kapcsolatot. Milyen függvény illesztését javasolja? Ha szükséges, javasoljon transzformációt is!

ata=Table[{Random[Real,{0,3}],Random[Real,{0,1}]}, {i,0,100}];
data1=data/.{x_,y_}->{x,E^(-x)+(1/5) y };
data2=data/.{x_,y_}->{x,2-x/2+(1/5) y };
Show[GraphicsArray[Partition[
       {
				ListPlot[data1,PlotRange->{0,1.5}],
		    ListPlot[data2,PlotRange->{0,3}]
			},2]]]

Függvényvizsgálat. 20 pont.

Végezzen teljes függvényvizsgálatot (ért. tartomány, monotonitás, szélsõértékek, konvexitás, inflexiós pontok, határérértékek) az f(x)=((x^2)/(x+2)) függvényen.

Függvények összehasonlítása, határértékek. 5 pont.

Határozza meg az alábbi határértéket. Az  eredmény alapján hasonlítsa össze a kifejezésben szereplõ függvények viselkedését az adott hely környezetében.

(lim_(x->0)) (((sin^2) x)/x)

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫(((x^3)-2x+1)/((x^2)^(1/3)))dx

Határozatan integrál, helyettesítéses, parciális integrálás. 15 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫(((x^3)-2x+1)/((x^2)^(1/3)))dx.

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)= -1+(x^2) és g(x)=-1-3 x+2 (x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Integrálközép, mozgás. 10 pont.

Egy mozgó test gyorsulása a “t” másodpercben  a(t)=(((3t-2))^2) (m/(s^(2 ))). Mennyi az átlagos gyorsulás  a (Subscript[t, 0])= 0.5   és  (Subscript[t, 1])=1  másodpercek között? Határozza meg az útfüggvényt, ha v(0)=1  és  s(0)=2.

Kétváltozós függvény szintvonalai. 10 pont.

Határozza meg az  f(x)=tg((x^2)-y) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,1,-1   értékekhez tartozó  szintvonalakat is.

Parciális deriváltak. 10 pont.

Számolja ki az  f(x,y)=(x^(sin(y)))+log(x+(y^2)) függvény  ((∂f(x,y))/(∂x)),  (((∂^2)f(x,y))/(∂x ∂y))parciális deriváltjait!

Kétváltozós függvény szélsőérékei. 10 pont.

Keresse meg az f (x)=6+2 x-(x^2)+7 y+2 x y+2 (y^2)  függvény kritikus helyeit, határozza meg, hogy szélsõértékek-e.

Görbeillesztés. 5 pont.

Jellemezze az ábrázolt ponthalmazok koordinátái közti kapcsolatot. Milyen függvény illesztését javasolja? Ha szükséges, javasoljon transzformációt is!

data=Table[{Random[Real,{0,3}],Random[Real,{0,1}]}, {i,0,100}];
data1=data/.{x_,y_}->{x,x^4+(1/5) y };
data2=data/.{x_,y_}->{x,2-x/3+(1/5) y };
Show[GraphicsArray[Partition[
       {
				ListPlot[data1,PlotRange->{0,1.5}],
		    ListPlot[data2,PlotRange->{0,3}]
			},2]]]

Függvényvizsgálat. 20 pont.

Végezzen teljes függvényvizsgálatot (ért. tartomány, monotonitás, szélsõértékek, konvexitás, inflexiós pontok, határérértékek) az f(x)=((x^2)/((x^2)-1)) függvényen.

Függvények összehasonlítása, határértékek. 5 pont.

Határozza meg az alábbi határértéket. Az  eredmény alapján hasonlítsa össze a kifejezésben szereplõ függvények viselkedését az adott hely környezetében.

(lim_(x->-∞)) ((x^2)-x)(e^x)

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫(x^2) ((Sqrt[x])-(1/x))dx

Határozatan integrál, helyettesítéses, parciális integrálás. 15 pont.

Találja meg a megfelelõ integrálási szabályokat, és végezze el az integrálást!

∫x (sin(x)+(1/((Sqrt[x])+1)))dx.

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)= -1+x és g(x)=-1-x+(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Integrálközép, mozgás. 10 pont.

Egy mozgó test gyorsulása a “t” másodpercben  a(t)=3t+1 (m/(s^(2 ))). Mennyi az átlagos gyorsulás  a (Subscript[t, 0])= 0.2   és  (Subscript[t, 1])=0.5  másodpercek között? Határozza meg az útfüggvényt, ha v(0)=0  és  s(0)=1.

Kétváltozós függvény szintvonalai. 10 pont.

Határozza meg az  f(x)=sin((x^2)+(y^2)) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,1,-1   értékekhez tartozó  szintvonalakat is.

Parciális deriváltak. 10 pont.

Számolja ki az  f(x,y)=((cos(x))^y)+(x^(1/2)) függvény  ((∂f(x,y))/(∂x)),  (((∂^2)f(x,y))/(∂x ∂y))parciális deriváltjait!

Kétváltozós függvény szélsőérékei. 10 pont.

Keresse meg az f (x)=6+x-(x^2)+y+2 x y+2 (y^2)  függvény kritikus helyeit, határozza meg, hogy szélsõértékek-e.

Görbeillesztés. 5 pont.

Jellemezze az ábrázolt ponthalmazok koordinátái közti kapcsolatot. Milyen függvény illesztését javasolja? Ha szükséges, javasoljon transzformációt is!

data=Table[{Random[Real,{0,6}],Random[Real,{0,1}]}, {i,0,100}];
data1=data/.{x_,y_}->{x,Log[x+1]+(1/5) y };
data2=data/.{x_,y_}->{x,2+(1/5) y };
Show[GraphicsArray[Partition[
       {
				ListPlot[data1,PlotRange->{0,2}],
		    ListPlot[data2,PlotRange->{0,3}]
			},2]]]