2. dolgozat - 1997. tanév

Függvények összehasonlítása, határértékek, L’Hospital szabály. 2+4+4 pont.

Határozza meg az alábbi határértékeket. Az  eredmény alapján hasonlítsa össze a kifejezésekben szereplõ függvények viselkedését az adott hely környezetében.

Taylor polinomok. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=(e^(cos(x)))  függvény harmadfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=(π/2)  hely körül.

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+5 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrálokat az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫(((x^2)+2x-1)/(x^3))dx;              ∫(x^4) (1-(1/(x^(1/3))))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítés, parciális integrálás. 10 pont.

Találja meg a megfelelõ integrálási szabályokat, és végezze el az integrálást!

∫sin(x) (cos(x)-(1/(((cos(x)-1))^3)))dx

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=2 (x^2)-2 x-1 és g(x)=(x^2)-x-1 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Integrálközép. 10 pont.

Egy mennyiség változását  (Subscript[t, 0])=0   és  (Subscript[t, 1])=2  percek között mérjük.  A változást az  f(t)=10 (e^(t-1)) t  függvény írja le. Számítsa ki a mennyiság átlagát az adott idõintervalumon (integrálközép)!

Alkalmazás, mozgás vizsgálata. 10 pont.

A mozgó test gyorsulását az  a(t)=sin(t)+1 függvény írja le. Határozza meg a sebesség- és az útfüggvényt, ha (Subscript[t, 0])=0(Subscript[, s, 0])=1,  (Subscript[v, 0])=2.

Kétváltozós függvény szintvonalai. 10 pont.

Határozza meg az  f(x)=log(x-(y^2)) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z= -1,0,1   értékekhez tartozó  szintvonalakat is.

Parciális deriváltak. 10 pont.

Számolja ki az  f(x,y)=(e^x) (y^3)+log(y (x^2))  függvény  ((∂f(x,y))/(∂x)),  (((∂^2)f(x,y))/(∂x ∂y))parciális deriváltjait!

Kétváltozós függvény szélsőértékei. 5 pont.

Keresse meg az f (x)=(x^2)+2 x+2 (y^2)-y-x y  függvény kritikus helyeit.

Görbeilesztés. 5 pont.

Jellemezze az ábrázolt ponthalmazok koordinátái közti kapcsolatot. Milyen függvény illesztését javasolja? Ha szükséges, javasoljon transzformációt is!

data=Table[{Random[Real,{0,3}],Random[Real,{0,1}]}, {i,0,100}];
data1=data/.{x_,y_}->{x,2E^(-x)+(1/5) y };
data2=data/.{x_,y_}->{x,1+(1/5) y };
Show[GraphicsArray[Partition[
       {
				ListPlot[data1,AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,2}],
		    ListPlot[data2,AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,2}]
			},2]]]

Lineáris differenciálegyenlet megoldása. 10 pont.

Oldja meg az   x'=2 x-1;x(0)=1  kezdetiérték problémát!

Kémiai reakciók differenciálegyenlete. 10 pont.

Keresse meg az  x’=(1-x)(2-x)  rendszer egyensúlyi helyzeteit! Az egyenlet jobboldalának elemzése alapján vázolja az iránymezõ elemeit  és a megoldásokat az egyensúlyi helyzetek által elválasztott tartományokban.

Függvények összehasonlítása, határértékek, L’Hospital szabály. 2+4+4 pont.

Határozza meg az alábbi határértékeket. Az  eredmény alapján hasonlítsa össze a kifejezésekben szereplõ függvények viselkedését az adott hely környezetében.

Taylor polinomok. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=log(log(x+e))  függvény harmadfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0  hely körül.

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+5 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrálokat az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫(((x^3)+3x-1)/(x^2))dx;              ∫(x^2) (1-(1/(x^(1/5))))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítés, parciális integrálás. 10 pont.

Találja meg a megfelelõ integrálási szabályokat, és végezze el az integrálást!

∫(e^x) (x-(1/((e^x)-1)))dx

Területszámítás. 10 pont

Határozza meg az f(x)=(x^2)-4x-4 és g(x)=3(x^2)-4x-12 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Integrálközép. 10 pont.

Egy mennyiség változását  (Subscript[t, 0])=0   és  (Subscript[t, 1])=2  percek között mérjük.  A változást az  f(t)=10 (e^(-((t^2)))) t  függvény írja le. Számítsa ki a mennyiság átlagát az adott idõintervalumon (integrálközép)!

Alkalmazás, mozgás vizsgálata. 10 pont.

A mozgó test gyorsulását az  a(t)=(2^t) -1  függvény írja le. Határozza meg a sebesség- és az útfüggvényt, ha (Subscript[t, 0])=0(Subscript[, s, 0])=0,  (Subscript[v, 0])=1.

Kétváltozós függvény szintvonalai. 10 pont.

Határozza meg az  f(x)=log(x-(y^2)) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z= -1,0,1   értékekhez tartozó  szintvonalakat is.

Parciális deriváltak. 10 pont.

Számolja ki az  f(x,y)=(e^x) (y^3)+log(y (x^2))  függvény  ((∂f(x,y))/(∂x)),  (((∂^2)f(x,y))/(∂x ∂y))parciális deriváltjait!

Kétváltozós függvény szélsőértékei. 5 pont.

Keresse meg az f (x)=(x^2)+2 x+2 (y^2)-y-x y  függvény kritikus helyeit.

Görbeillesztés. 5 pont.

Jellemezze az ábrázolt ponthalmazok koordinátái közti kapcsolatot. Milyen függvény illesztését javasolja? Ha szükséges, javasoljon transzformációt is!

data=Table[{Random[Real,{0,3}],Random[Real,{0,1}]}, {i,0,100}];
data1=data/.{x_,y_}->{x,2E^(-x)+(1/5) y };
data2=data/.{x_,y_}->{x,1+(1/5) y };
Show[GraphicsArray[Partition[
       {
				ListPlot[data1,AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,2}],
		    ListPlot[data2,AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,2}]
			},2]]]

Lineáris differenciálegyenlet megoldása. 10 pont.

Oldja meg az   x'=2 x-1;x(0)=1  kezdetiérték problémát!

“Szaporodás lehalászással” differenciálegyenlete. 10 pont.

Keresse meg az  x’=2x(2-x)-1  rendszer egyensúlyi helyzeteit! Az egyenlet jobboldalának elemzése alapján vázolja az iránymezõ elemeit  és a megoldásokat az egyensúlyi helyzetek által elválasztott tartományokban.