1. dolgozat
2014/2015 tanév, tavaszi félév

A. változat

rész. Alapfeladatok, 50 pont

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi 25% -os és 45%-os alkoholos oldatot keverjünk össze, hogy 100 mg 30%-os alkoholos oldatot kapjunk? A koncentrációk tömegre vonatkoznak.

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

(Sqrt[(9/(Sqrt[16]))]);	(((x^2)-4)/(x-2));        (0.1^(-3lg 2));	(Subscript[log, x]) (Sqrt[x]).

Egyenletek. 5 pont.

Oldja meg az alábbi egyenletet:

2(e^(-2x))-3(e^(-3x))=0.

Elemi függvények ábrázolása. 2+2+2+4 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

-0.25x+1;  (Sqrt[x]) ;   (2^(-x));    1-(((x-2))^3).

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az  -2f(x)+1 függvényt.

paf=Plot[Which[-1<x<1,(1/π)ArcSin[Sin[Pi x]],True, 0],{x,-2,2},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1.1,2},PlotStyle->{Thick}]

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az f(x)=(Subscript[log, 5])(2x+1)-1 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.

Felezési idő. 5 pont.

Adja meg az f(x)=3·(4^(-3x+1)) függvény felezési idejét.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(-2x/3+2)],{x,-1,7},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.2]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=0.001·(10^(0.4x+1)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

rész. Derivált és alkalmazásai

Deriválási szabályok. 5+7+8 pont.

Határozza meg a deriváltakat:

2((x^2)^(1/5))+(3^x)+(e^2) ;       ((1+(e^x))/(x^2));       (Subscript[log, 3])((x^2)sin(x))

Derivált rajzolása. 6 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja.  Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[-(x^3)(x-1) (x+1.5)^2  (1.5^(- x^2+1)),{x,-1.7,1.05},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)",PlotStyle->{Thick}]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az p(t)= -2(t^4)+3(t^2)+1 függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[t, 0])=1 helyen

Derivált grafikus elemzése. 6 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[-(x^3)(x-1) (x+1.5)^2  (1.5^(- x^2+1)),{x,-1.7,1.05},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f '(x)",PlotStyle->{Thick}]

Függvényvizsgálat. 13 pont.

Tekintsük  az f(x)=4(x^2)-3 (x^4)-4 függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).

B. változat

rész. Alapfeladatok, 50 pont

Keverési feladat. 5 pont.

100 mg 20%-os alkoholos oldatból 50%-os oldatot szeretnénk készíteni. Desztillált víz és 80%-os oldat áll rendelkezésünkre. Melyiket, illetve abból mennyit használjunk fel? A koncentrációk tömegre vonatkoznak.

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

((4(Sqrt[4]))^(1/3));  	(Sqrt[3-(Sqrt[5])])·(Sqrt[3+(Sqrt[5])])	     (1000^(-lg 2)); 	 (Subscript[log, x]) (1/(Sqrt[x])).

Egyenletek. 5 pont.

Oldja meg az alábbi egyenleteket:

(((x^3)(1-x))/((x^2)+2x+1))=0

Elemi függvények ábrázolása. 2+2+2+4 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

0.5+2.5x;      (x^(1/3));     (Subscript[log, 2])((Sqrt[x]));   1-(e^(-x)).

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az f(-x+1) függvényt.

paf=Plot[-1.5Min[Abs[-x+0.5],1]+1,{x,-2,2},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1.1,1},PlotStyle->{Thick}]

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az f(x)=(((2-x))^3)-1 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.

Felezési idő. 5 pont.

Adja meg az f(x)=(10^(-3x-1)) függvény felezési idejét.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(-2x/3+3)],{x,-1,7},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.2]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=100*(10^(-0.2x+1)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

rész. Derivált és alkalmazásai

Deriválási szabályok. 5+7+8 pont.

Határozza meg a deriváltakat:

(5/(x^2))-cos(x)+(Sqrt[π]) ;      ((x^(1/3))+1) (Subscript[log, 3])x;       (e^((x^2)ln(x))).

Derivált rajzolása. 6 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja. Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[2x(x+0.5) (x-1.5)^3  (1.5^(- x^2)),{x,-0.6,2.3},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)",PlotStyle->{Thick}]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az q(t)= (Sqrt[t])-t-1 függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[t, 0])=4 helyen

Derivált grafikus elemzése. 6 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[2x(x+0.5) (x-1.5)^3  (1.5^(- x^2)),{x,-0.6,2.3},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f '(x)",PlotStyle->{Thick}]

Függvényvizsgálat. 13 pont.

Tekintsük  az f(x)=4(x^5)-10 (x^2)+4 függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).