1. dolgozat
2014/2015 tanév, őszi félév

A. változat

rész. Alapfeladatok

Keverési feladat. 5 pont.

200 mg 10 %-os sóoldatból mennyi vizet párologtasunk el, hogy 14%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

Hozzuk egyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket:

(Sqrt[5  (Sqrt[25])]);	(((Sqrt[x y]) +y (z^3))/(x (Sqrt[y])(z^2)));     lg((2^(-3x+1)));	(Subscript[log, (1/x)]) (x^2).

Egyenes. 5 pont.

Írja fel a (Subscript[P, 0])=(1,-2)  ponton átmenő m=0.5 meredekségű egyenes egyenletét. Ábrázolja a függvényt.

Egyenletek. 5 pont.

Oldja meg az alábbi egyenletet:

(2^((Subscript[log, 3])(x-1)))=(2^(1/3)).

Elemi függvények ábrázolása. 1+2+2 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:  (Sqrt[x]); (1/(x^2)) ;  (2^(-2x)).

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az 1-f(x-2) függvényt.

paf=Plot[Min[Abs[-2x+1],1],{x,-2,4},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1.1,1},PlotStyle->{Thick}]

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az f(x)=(10^(x-1))+2 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.

Felezési idő. 5 pont.

Adja meg az f(x)=0.1 (3^(-2x)) függvény felezési idejét.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(-2x/3+1)],{x,-1,7},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.8]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=30*(10^(0.5x-2)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

rész. Derivált és alkalmazásai

Deriválási szabályok. 4+6+10 pont.

Határozza meg a deriváltakat: 	(1/(Sqrt[x]))-(Subscript[log, 2])x+π ;       ((tg x)/(x^(-2)));       (Sqrt[x (e^(-2x))])

Derivált rajzolása. 7 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja.  Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[(2(x^2)(x-1) (x+2)  (2^(- x^2))),{x,-4,1.5},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)",PlotStyle->{Thick}]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az f(x)= (1/(x^2))-(x^2)+1 függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[x, 0])=2 helyen

Derivált grafikus elemzése. 8 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk (szélsőérték, monotonitás, inflexiós helyek, konvexitás).

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[(2(x^2)(x-1) (x+2)  (2^(- x^2))),{x,-4,1.5},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f'(x)",PlotStyle->{Thick}]

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Tekintsük  az f(x)=2 (x^4)-4 (x^2)-2 függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).

B. változat

rész. Alapfeladatok

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi 25%-os és 50%-os oldatot keverjünk össze, hogy 150 mg  40%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

Hozzuk egyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket:

(Sqrt[5  (Sqrt[25])]);	(((Sqrt[z y]) +y (x^2))/(z (Sqrt[y])(x^2)));     lg((3^(3x-1)));	(Subscript[log, (1/(x^2))]) (x^2).

Egyenes. 5 pont.

Írja fel a (Subscript[P, 0])=(-1,1) és (Subscript[P, 1])=(2,-1) pontokon átmenő egyenes egyenletét. Ábrázolja a függvényt.

Egyenletek. 5 pont.

Oldja meg az alábbi egyenletet: 	((5^x)-2*(3^x))(x-1)=0.

Elemi függvények ábrázolása. 1+2+2 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:  (x^3); sin (2x);  -(2^x)+1.

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az  -1.5f(x+2) függvényt.

paf=Plot[Which[-1<x<1,x^3,True, Sign[x]],{x,-3,3},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-2,2},PlotStyle->{Thick}]

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az f(x)=lg(x-2)+1 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.

Felezési idő. 5 pont.

Olvassa le a grafikonról az alábbi függvény felezési idejét.

Plot[4 3^(-x),{x,0,4},AspectRatio->1/2, GridLines->Automatic,PlotRange->{0,4},PlotStyle->{Thick}]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(4x/6-3)],{x,-1,7},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.8]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=0.02*(10^(-1.5x+2)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

rész. Derivált és alkalmazásai

Deriválási szabályok. 4+6+10 pont.

Határozza meg a deriváltakat:  	(2/(x^3))-(2^x)+(Sqrt[2]) ;      (((x^(1/3))+ (Subscript[log, 3])x)/x);       (((e^x)-(e^(-x)))/((e^x)+(e^(-x)))).

Derivált rajzolása. 7 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja. Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[-(4x^3 (x-0.8) (x+1.)(4^(- x^2))),{x,-2.,2},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)",PlotStyle->{Thick}]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az f(x)= -ln((x^3))-2x+2 függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[x, 0])=1 helyen.

Derivált grafikus elemzése. 8 pont.

Az alábbi grafikon az f'(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk (szélsőérték, monotonitás, inflexiós helyek, konvexitás).

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[-(4x^3 (x-0.8) (x+1.)(4^(- x^2))),{x,-2.,2},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f'(x)",PlotStyle->{Thick}]

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Tekintsük  az f(x)=-3 (x^5)+5(x^3)-1 függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).