1. dolgozat
2013/2014 tanév, tavaszi félév

A. változat

rész. Alapfeladatok, 50 pont

Keverési feladat. 5 pont.

200 mg 25%-os alkoholos oldatból 70%-os oldatot szeretnénk készíteni. Desztillált víz és 80%-os oldat áll rendelkezésünkre. Melyiket, illetve abból mennyit használjunk fel?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

(Sqrt[2 (Sqrt[2])(2^3)]);	(((x^(1/3)) y z)/(x  (y^(-1))(Sqrt[z])));       (2^(-3(Subscript[log, 2]) 5));	(Subscript[log, (1/x)]) (x^2)

Egyenes. 5 pont.

Írja fel a (Subscript[P, 0])=(-1,3) és (Subscript[P, 1])=(2,-2) pontokon átmenő egyenes egyenletét. Ábrázolja a függvényt.

Egyenletek. 5 pont.

Oldja meg az alábbi egyenletet:  (3^((Subscript[log, 2])(x+3)))=1.

Elemi függvények ábrázolása. 2+3 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

(Sqrt[x]);		 ((((1/2)))^x)

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az f(x-2) - 0.5 függvényt.

f[x_]=Min[Abs[x-1], 1.5];
Plot[f[x],{x,-2,2},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{{-2,4},{-1.6,1.6}},PlotStyle->{Thick}]

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az f(x)= (e^(2x+3))-1 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.

Felezési idő. 5 pont.

Adja meg az f(x)= (3^(-x+2)) függvény felezési idejét.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,(10^(((-2 x)/3)+3))],{x,-1,10},AspectRatio->Automatic,Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,(10.^i)],(10.^i)},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,(10.^i)],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.8]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=100*(10^(0.5x+1)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

rész. Derivált és alkalmazásai

Deriválási szabályok. 5+7+8 pont.

Határozza meg a deriváltakat:

(3^x)+ sinx + e; 		((Sqrt[x])/lnx); 		cos( (x^2)+ (e^x))

Derivált rajzolása. 7 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja.  Vázolja az f'(x) grafikonját.

f[x_]=0.7(x(x-0.5) (x+2)^3  (1.5^(-x^2)));
Plot[f[x],{x,-2.3,0.6},PlotRange->{{-2.1,1},{-0.5,1.2}},AspectRatio->Automatic,Epilog->{Text [Style["f(x)",16,Bold,Blue],{0.8,0.4}]},PlotStyle->{Thick,Blue}]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az f(x)= 2(x^5)-5(x^2)+2x függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[x, 0])=-1 helyen

Derivált grafikus elemzése. 8 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk (szélsőérték, monotonitás, inflexiós helyek, konvexitás).

f[x_]=0.7(x(x-0.5) (x+2)^3  (1.5^(-x^2)));
Plot[f[x],{x,-2.3,0.6},PlotRange->{{-2.1,1},{-0.5,1.2}},AspectRatio->Automatic,Epilog->{Text [Style["f'(x)",16,Bold,Blue],{0.8,0.4}]},PlotStyle->{Thick,Blue}]

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Tekintsük  az f(x)=(x^3)- (x^2)-3x függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).

B. változat

rész. Alapfeladatok, 50 pont

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi 20%-os és 50%-os oldatot keverjünk össze, hogy 50 mg  25%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

(Sqrt[3(3^(1/3))27]);	(((x^2)(Sqrt[y]) z)/(x  y(z^(1/3))));       (3^(2(Subscript[log, 3]) 4));	(Subscript[log, x]) (x^(1/3))

Egyenes. 5 pont.

Írja fel a (Subscript[P, 0])=(1,-2)  ponton átmenő m=2 meredeségű egyenes egyenletét. Ábrázolja a függvényt.

Egyenletek. 5 pont.

Oldja meg az alábbi egyenletet:

(2^x)-9 (3^x)=0.

Elemi függvények ábrázolása. 2+3 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

(x^(1/3));		 (Subscript[log, 2])x

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az -f(y) + 0.5 függvényt.

Plot[{Abs[x-2](x)},{x,-0.,2.5},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1.,1},PlotStyle->{Thick}]

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az f(x)= ((x+1)^(1/3))-3 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.

Felezési idő. 5 pont.

Adja meg az f(x)= (e^(3x-1)) függvény duplázódási idejét.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,(10^(2 x/5-1))],{x,-1,6},AspectRatio->Automatic,Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,(10.^i)],(10.^i)},{i,-5,8}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,(10.^i)],Blue},{i,-5,8}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.8]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=0.1*(10^(3x+1)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

rész. Derivált és alkalmazásai

Deriválási szabályok. 5+7+8 pont.

Határozza meg a deriváltakat:

(x^(-3))+ cosx + 2π; 		(2^x) (x^(1/4)); 		(Subscript[log, 3])( (Sqrt[x])+ (e^x))

Derivált rajzolása. 7 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja.  Vázolja az f'(x) grafikonját.

f[x_]=-0.7(x(x-0.5) (x+2)^3  (1.5^(-x^2)));
Plot[f[x],{x,-2.3,0.6},PlotRange->{{-2.1,1},{-1.2,0.5}},AspectRatio->Automatic,Epilog->{Text [Style["f(x)",16,Bold,Blue],{0.8,0.4}]},PlotStyle->{Thick,Blue}]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az f(x)= (x^4)-2(x^3)+6x függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[x, 0])=2 helyen

Derivált grafikus elemzése. 8 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk (szélsőérték, monotonitás, inflexiós helyek, konvexitás).

f[x_]=-0.7(x(x-0.5) (x+2)^3  (1.5^(-x^2)));
Plot[f[x],{x,-2.3,0.6},PlotRange->{{-2.1,1.1},{-1.2,0.5}},AspectRatio->Automatic,Epilog->{Text [Style["f'(x)",16,Bold,Blue],{0.8,0.4}]},PlotStyle->{Thick,Blue}]

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Tekintsük  az f(x)=(x^3)+3 (x^2)-4x függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).