1. dolgozat
2013/2014 tanév, őszi félév

A. változat

rész. Alapfeladatok, 50 pont

Keverési feladat. 5 pont.

300 mg 30%-os alkoholos oldatból 70%-os oldatot szeretnénk készíteni. Desztillált víz és 90%-os oldat áll rendelkezésünkre. Melyiket, illetve abból mennyit használjunk fel?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

(Sqrt[3  (27^(1/3))]);	(((Sqrt[x]) y (z^3))/(x (Sqrt[y])(z^2)));       (10^(-3lg 2));	(Subscript[log, x]) (1/x).

Egyenes. 5 pont.

Írja fel a (Subscript[P, 0])=(2,-1)  ponton átmenő m=1.5 meredeségű egyenes egyenletét. Ábrázolja a függvényt.

Egyenletek. 5 pont.

Oldja meg az alábbi egyenletet:

(2^((Subscript[log, 3])(4x+1)))=1.

Elemi függvények ábrázolása. 2+3 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

(x^(1/3));   (2^(-x)).

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az -f(x+1) függvényt.

paf=Plot[-Min[Abs[-x+1],1],{x,-2,2},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1.1,1},PlotStyle->{Thick}]

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az f(x)=((x-3)^(1/3))+2 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.

Felezési idő. 5 pont.

Adja meg az f(x)=10 (2^(-3x)) függvény felezési idejét.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(2x/5-2)],{x,-1,7},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.8]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=10*(10^(0.6x-2)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

rész. Derivált és alkalmazásai

Deriválási szabályok. 5+7+8 pont.

Határozza meg a deriváltakat:

2(x^(1/3))-(2^x)+e ;       ((e^(-x))/(x^3));       (Subscript[log, 2])(x+sin(x))

Derivált rajzolása. 7 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja.  Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[-(2x(x-0.5) (x+1.5)^3  (1.5^(- x^2))),{x,-2.3,0.6},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)",PlotStyle->{Thick}]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az f(x)= (Sqrt[x])-x+1 függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[x, 0])=4 helyen

Derivált grafikus elemzése. 8 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk (szélsőérték, monotonitás, inflexiós helyek, konvexitás).

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[-(2x(x-0.5) (x+1.5)^3  (1.5^(- x^2))),{x,-2.3,0.6},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f'(x)",PlotStyle->{Thick}]

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Tekintsük  az f(x)=2 (x^5)+5 (x^2)-2 függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).

B. változat

rész. Alapfeladatok, 50 pont

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi 30%-os és 70%-os oldatot keverjünk össze, hogy 100 mg  40%-os oldat áll rendelkezésünkre?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

((4  (Sqrt[4]))^(1/3));  	(((Sqrt[y]) x (z^2))/(y (Sqrt[x])z));	     (10^(-2lg 3));     (Subscript[log, x]) (Sqrt[x]).

Egyenes. 5 pont.

Írja fel a (Subscript[P, 0])=(-2,1) és (Subscript[P, 1])=(3,-1) pontokon átmenő egyenes egyenletét. Ábrázolja a függvényt.

Egyenletek. 5 pont.

Oldja meg az alábbi egyenletet:

(3^x)-2*(2^x)=0.

Elemi függvények ábrázolása. 2+3 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

(Subscript[log, 3])x;  (2^x)-1.

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az  f(x+1)+0.5 függvényt.

paf=Plot[Which[0<x<1,-Sin[Pi x],True, 0],{x,-2,2},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1.1,1.5},PlotStyle->{Thick}]

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az f(x)=(((x-2))^3)+3 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.

Felezési idő. 5 pont.

Olvassa le a grafikonról az alábbi függvény felezési idejét.

Plot[3 2.5^(-x),{x,0,5},AspectRatio->Automatic, GridLines->Automatic,PlotRange->{0,3},PlotStyle->{Thick}]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(-4x/6+2)],{x,-1,7},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.8]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=0.01*(10^(-1.5x+2)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

rész. Derivált és alkalmazásai

Deriválási szabályok.  5+7+8 pont.

Határozza meg a deriváltakat:

(3/(x^2))-cos(x)+π ;      (x^(1/5)) (Subscript[log, 3])x;       (e^(ln(x)+x)).

Derivált rajzolása. 7 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja. Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[-(4x^3 (x-0.8) (x+1.)(1.5^(- x^2))),{x,-1.,0.9},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)",PlotStyle->{Thick}]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az f(x)= -3(x^5)-2x+2 függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[x, 0])=-1 helyen.

Derivált grafikus elemzése. 8 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk (szélsőérték, monotonitás, inflexiós helyek, konvexitás).

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[-(4x^3 (x-0.8) (x+1.)(1.5^(- x^2))),{x,-1.,0.9},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f'(x)",PlotStyle->{Thick}]

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Tekintsük  az f(x)=-3 (x^4)+2(x^2)-1 függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).