1. dolgozat
2012/2013 tanév, tavaszi félév

A. változat

rész. Alapfeladatok, 50 pont

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi vizet párologtasunk el 15 kg 25% -os oldatból, hogy 35%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

((1/128)^(1/5));	(((Sqrt[x]) y (z^2))/(x (y^(1/2))z));   (0.1^(lg 2013));	(Subscript[log, (1/x)]) (x^2).

Egyenletek. 5 pont.

Oldja meg az alábbi egyenletet:   2*(3^x)-3*(5^(2x))=0.

Elemi függvények ábrázolása. 2+2+2+4 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

-2x+1;  (1/x);   (Subscript[log, 2])x;     0.5((x-1)^(1/3))+2.

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az -0.5f(x-1)-1 függvényt.

paf=Plot[Min[2Abs[x-1],1]-1,{x,-2,2},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1,1}]

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az f(x)=(2^(x+1)) -2 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.

Felezési idő. 5 pont.

Adja meg az f(x)=(5^(-2x+1)) függvény felezési idejét.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(2x/3-2)],{x,-1,7},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.5]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=10*(10^(-0.5x+2)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

rész. Derivált és alkalmazásai

Függvény rajzolása. 5 pont.

Rajzoljon egy olyan függvénygrafikont a derékszögű koordinátarendszerben, amelynek lokális maximuma van az x=2 helyen, nem differenciálható x=1-ben és nem folytonos x=0-ban.

Deriválási szabályok. 2+3+4+6 pont.

Határozza meg a deriváltakat:

(1/(x^3))+(Subscript[log, 3]) (x)-e ;       (x^(1/4)) sin(x);        ln(-2(x^3)+x);      ln(((e^x)/x)) .

Derivált rajzolása. 6 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja.  Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[  x(x-1) (x+1.5)^3  (1.5^( -x^2)),{x,-5.,1},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)"]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az f(x)= 2(x^3)+(2/x)+1 függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[x, 0])=-1 helyen

Derivált grafikus elemzése. 6 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk.

Plot[  x(x-1) (x+1.5)^3  (1.5^( -x^2)),{x,-5.,1},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f'(x)"]

Függvényvizsgálat. 13 pont.

Tekintsük  az f(x)=-2 (x^3)+(x^4)+1 függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).

B. változat

rész. Alapfeladatok, 50 pont

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi vizet  vagy sót (válassza a megfelelőt) keverjünk 15 kg 25% -os oldathoz, hogy 30%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

((1/64)^(1/3));	(((Sqrt[y]) y (z^2))/(y (z^(1/2))(x^2)));   (100^(lg 20));	(Subscript[log, x]) (x^(-2)).

Egyenletek. 5 pont.

Oldja meg az alábbi egyenletet:   (Subscript[log, 2])((Subscript[log, 3])((x^2)-1))=0.

Elemi függvények ábrázolása. 2+2+2+4 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

3x-1;  tg x;   (2^(-x));     1-(Sqrt[x+2]).

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az -2f(x+2)-1 függvényt.

paf=Plot[Min[2Abs[x-1],1]-1,{x,-2,2},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1,1}]

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az f(x)=(Subscript[log, 3])(x+1) -2 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.

Felezési idő. 5 pont.

Adja meg az f(x)=(3^(-5x+1)) függvény felezési idejét.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(-2x/3+2)],{x,-1,7},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.5]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=100*(10^(0.5x-3)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

rész. Derivált és alkalmazásai

Függvény rajzolása. 5 pont.

Rajzoljon egy olyan függvénygrafikont a derékszögű koordinátarendszerben, amelynek lokális minimuma van az x=1 helyen, nem differenciálható x=2-ben és nem folytonos x=-1-ben.

Deriválási szabályok. 2+3+4+6 pont.

Határozza meg a deriváltakat:

(1/(x^4))+(2^x)-π ;       (x^(1/3)) ln(x);        (Sqrt[-2(x^2)+sin(x)]);      (e^(-sin(x)+ln(x))) .

Derivált rajzolása. 6 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja.  Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[  (x)(x+1) (x-1.5)^3  (1.5^( -x^2)),{x,-1.1,5},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)"]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az f(x)= 2(x^4)+(1/x)+x függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[x, 0])=-1 helyen

Derivált grafikus elemzése. 6 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk.

Plot[  (x)(x+1) (x-1.5)^3  (1.5^( -x^2)),{x,-1.1,5},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f'(x)"]

Függvényvizsgálat. 13 pont.

Tekintsük  az f(x)=-2 (x^3)+(x^4)+1 függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).