1. dolgozat - 2010. tanév

Keverési feladat. 5 pont.

25% -os és 60%-os oldatokat milyen arányban keverjünk össze, hogy 30%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 5 pont.

(((Sqrt[x]) (y-((y^2)/x)))/(x (Sqrt[y])));	((-3  (3^(1/3)))^(1/5));	((1/81)^(1/4));	  (100^(lg 2010));	(Subscript[log, 5]) (25^(1/3)).

Egyenletek. 3+4 pont.

Oldja meg az alábbi egyenleteket:

-(3/4)+x+(x^2)=0;	 ln((Subscript[log, 2])(x-1))=0.

Elemi függvények ábrázolása. 1+1+1+1+1+3 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

-0.5 x+1;  (1/x);      (Sqrt[x]);     (Subscript[log, 1/3])x;     (0.5^(-x)),3(1-(e^(-x))).

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az f(3x)-1 függvényt.

paf=Plot[{Abs[x-2]x^2},{x,-0.5,2.3},PlotRange->All,
AspectRatio->Automatic,AxesStyle->Directive[10]]

Inverz függvény és elemi transzformációk. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=((x-1)^(1/3))+2 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.  Ábrázolja az f és  (OverBar[f]) függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(3x/5-1)],{x,-2,8},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.2]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=(10/(x^(1/3))) függvényt 10-es alapú kettős logaritmikus koordinátarendszerben.

Függvény rajzolása. 5 pont.

Rajzoljon egy olyan függvénygrafikont a derékszögű koordinátarendszerben, amelynek lokális maximuma van az x=1 helyen, inflexiós pontja x=2-ben és rendelkezik következő határértéktulajdonságokkal: (lim_(x->∞))f(x)=0.

Deriválási szabályok. 2+3+5+5 pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

(1/(Sqrt[x]))-(2^x)+e ;      ((2^x)/(x^(1/3)));      (e^(ln(x sin(x))));      (e^(-(Sqrt[(x^2)-3]))).

Derivált rajzolása. 8 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja.  Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[  2x (x-1)^3 (x+1)(x+2) (3^(- 0.8x^2)),{x,-1.8,4},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)"]

Érintő egyenlete. 4+3 pont.

Adja meg  az f(t)= (t/((t^2)+2)) függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[t, 0])=1 helyen

Derivált grafikus elemzése. 5 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[  2x (x-1)^3 (x+1)(x+2) (3^(- 0.8x^2)),{x,-1.8,4},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f'(x)"]

Függvényvizsgálat. 10 pont.

Tekintsük  az f(t)=(t^3) (-t+3) függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).

Keverési feladat. 5 pont.

20% -os sóoldathoz mit (vizet vagy sót) és abból mennyit keverjük, hogy 5 kg 15%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 5 pont.

(((Sqrt[z]) (x-((x^2)/z)))/((Sqrt[x]) z));      ((-2  (Sqrt[2]))^(1/5)); 	 (Subscript[log, 1/3]) 81;	  (0.1^(lg 2010)); 	 (Subscript[log, (x^2)]) (Sqrt[x]).

Egyenletek. 3+4 pont.

Oldja meg az alábbi egyenleteket:

(3/4)+2 x+(x^2)=0;	 2 (e^(5x))-(e^(2x))=0.

Elemi függvények ábrázolása. 1+1+1+1+1+3 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

2-2.5x;  sin(x);      (x^(1/3));     (Subscript[log, 0.5])(2^x);   ((((1/3)))^x);     (Subscript[log, 2])(x-1)+2.

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az f(0.5x)-1 függvényt.

pbf=Plot[{Abs[-x-2]x^2/.(x->-x)},{x,-2.3,0.5},PlotRange->All,
AspectRatio->Automatic,AxesStyle->Directive[10]]

Inverz függvény és elemi transzformációk. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(((x-2))^3)+1 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.  Ábrázolja az f és  (OverBar[f]) függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(-3x/7+1)],{x,-2,8},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.2]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=((Sqrt[(x^3)])/10) függvényt 10-es alapú kettős logaritmikus koordinátarendszerben.

Függvény rajzolása. 5 pont.

Rajzoljon egy olyan függvénygrafikont a derékszögű koordinátarendszerben, amelynek lokális minimuma van az x=-2 helyen, inflexiós pontja az x=1 helyen és (lim_(x->∞))f(x)=∞.

Deriválási szabályok. 2+3+3+5 pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

(1/(Sqrt[(x^3)]))-(Subscript[log, 3])(x)+e; 	(2^x) (x^(1/5));	 ln(((e^x)/((e^x)+1)));	   (e^(-((-(x^3)+2x)^(1/3))))

Derivált rajzolása. 8 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja. Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[-  2x (x+1)^3 (x-1)(x-2) (3^(- 0.8x^2)),{x,-1.5,4},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)"]

Érintő egyenlete. 4+3 pont.

Adja meg  az f(t)=((e^t)/((e^t)+1))  függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[t, 0])=0 helyen.

Derivált grafikus elemzése. 5 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[-  2x (x+1)^3 (x-1)(x-2) (3^(- 0.8x^2)),{x,-1.5,4},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f'(x)"]

Függvényvizsgálat. 10 pont.

Tekintsük  az f(t)= (t^3) (t-2) függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).