1. dolgozat - 2009. tanév

Keverési feladat. 5 pont.

25% -os és 70%-os oldatokat milyen arányban keverjünk össze, hogy 40%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 5 pont.

((1/81)^(1/3)); 	 (Subscript[log, 3]) (1/81);	  (100^(lg 11)); 	 (Subscript[log, x]) (x^e); 	(3^(ln 2))

Egyenletek. 3+3 pont.

Oldja meg az alábbi egyenleteket:

-3-2 x+(x^2)=0;	 2 (e^x)-3(e^(3x))=0.

Elemi függvények. 10 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

2x-1;  (1/(x^2));      (x^(1/3));     (Subscript[log, 2])x;     (3^(-x)).

Transzformáció ábrázolása. 4 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az f(2x) függvényt.

paf=Plot[{Abs[x-2](x)},{x,-0.8,2.5},PlotRange->{-1,1.2},
AspectRatio->Automatic]

Inverz függvény és elemi transzformációk. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(Subscript[log, 3])(x-2)+1 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.  Ábrázolja az f és  (OverBar[f]) függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(-4x/7+1)],{x,-2,8},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]}]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=(10/(Sqrt[x])) függvényt 10-es alapú kettős logaritmikus koordinátarendszerben.

Függvény rajzolása. 5 pont.

Rajzoljon egy olyan függvénygrafikont a derékszögű koordinátarendszerben, amelynek lokális minimuma van az x=2 helyen, és rendelkezik következő határértéktulajdonságokkal: (lim_(x->∞))f(x)=0, (lim_(x->-∞))f(x)=∞.

Deriválási szabályok. 2+3+5+5 pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

(x^(1/3))-(3^x)+π ;      (((Subscript[log, 2])x)/(x^2));      (Subscript[log, 2])(-(x^4));      (e^(-((((x-1))^2)/4))).

Derivált rajzolása. 8 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja. Jelölje be az f'(x) lokális szélsőértékeit és azokat a szakaszokat, ahol f'(x)>0 . Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[  1.2(x+2.5)(x+1)^3 x(x-1)^2 (3^(- 0.5x^2)),{x,-5,1.3},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)"]

Érintő egyenlete. 4+3 pont.

Adja meg  az f(t)= ((e^(-t))/((e^(-t))+1)) függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[t, 0])=0 helyen

Derivált grafikus elemzése. 5 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és monoton csökkenő szakaszait.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[  1.2(x+2.5)(x+1)^3 x(x-1)^2 (3^(- 0.5x^2)),{x,-5,1.3},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f'(x)"]

Deriváltak elemzése. 10 pont.

Tekintsük  az f(t)= t (e^(-(t^2))) függvényt. Határozza meg a függvény szélsőértékhelyeit és azokat a szakaszokat, ahol a függvény monoton nemcsökkenő.

Keverési feladat. 5 pont.

25% -os sóoldathoz mit (vizet vagy sót) és abból mennyit keverjük, hogy 60%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 5 pont.

((-64)^(1/3)); 	 (Subscript[log, 1/2]) 32;	  (0.01^(lg 22)); 	 (Subscript[log, (x^2)]) x; 	(2^(ln 3))

Egyenletek. 3+3 pont.

Oldja meg az alábbi egyenleteket:

3-2 x-(x^2)=0;	 3 (e^(3x))-4(e^(2x))=0.

Elemi függvények ábrázolása. 10 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

1-0.5x;  (1/x);      (Sqrt[x]);     (Subscript[log, 0.5])x;     (1.5^(-x)).

Transzformáció ábrázolása. 4 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az f(0.5x) függvényt.

pbf=Plot[{-Abs[x-2](x)},{x,-0.8,2.5},PlotRange->{-1.2,1.2},
AspectRatio->Automatic]

Inverz függvény és elemi transzformációk. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(2^(x+1))-2 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.  Ábrázolja az f és  (OverBar[f]) függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(3x/4-2)],{x,-2,8},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]}]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=((Sqrt[x])/10) függvényt 10-es alapú kettős logaritmikus koordinátarendszerben.

Függvény rajzolása. 5 pont.

Rajzoljon egy olyan függvénygrafikont a derékszögű koordinátarendszerben, amelynek lokális maximuma van az x=-1 helyen, inflexiós pontja az x=0 helyen és (lim_(x->∞))f(x)=0.

Deriválási szabályok. 2+3+5+5 pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

(1/(x^2))-(Subscript[log, 3])(x)+e ;      (x^(1/3))(3^(-x));      (Sqrt[cos(x)-1]);      ln((e^(-x))+(e^x)).

Derivált rajzolása. 8 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja. Jelölje be az f'(x) lokális szélsőértékeit és azokat a szakaszokat, ahol f'(x) csökkenő. Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[  2x (x-1)^3 (x+1)^2(x-2) (3^(- 0.7x^2)),{x,-1.2,4},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)"]

Érintő egyenlete. 4+3 pont.

Adja meg  az f(t)=(1/((e^t)+1))  függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[t, 0])=0 helyen.

Derivált grafikus elemzése. 5 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Jelölje be az f(x) minimum helyeit helyeit és monoton növő szakaszait.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[ 2x (x-1)^3 (x+1)^2(x-2) (3^(- 0.7x^2)),{x,-1.2,4},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f'(x)"]

Deriváltak elemzése. 10 pont.

Tekintsük  az f(t)= (t^3) (e^(-t)) függvényt. Határozza meg a függvény szélsőértékhelyeit és azokat a szakaszokat, ahol a függvény monoton nemnövő.