1. dolgozat - 2008. tanév

Elméleti feladat. 5 pont.

A differenciálhányados definíciója és geometriai jelentése

Keverési feladat. 5 pont.

30% -os és 70%-os oldatokat milyen arányban keverjünk össze, hogy 65%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

((1/81)^(1/4)); 	 (Subscript[log, 2]) (1/64);	  (0.1^(lg 97)); 	 (Subscript[log, x]) (1/x).

Függvény fogalom. 5 pont.

Rajzoljon egy olyan görbét a derékszögű koordinátarendszerben, amely: függvény grafikonja, folytonos de nem differenciálható az x=2 helyen és lokális minimuma van az x=1 helyen.

Elemi függvények. 2+4+4 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

tg(x)     -((x-2)^(1/( 3)))+1;      ((((Sqrt[3])))^((Subscript[log, 3])x)).

Inverz függvény. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(e^(-x+2)) függvény (OverBar[f])(x) inverzét.  Ábrázolja az f és  (OverBar[f]) függvényeket.

Ábrázolás. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az ln( f(x)) függvényt.

paf=Plot[{Abs[x-2](x)^2},{x,-0.8,2.5},PlotRange->{0,2.5},
AspectRatio->Automatic]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(3x/5-1)],{x,-2,4},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Automatic,Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-4,4}]},GridLines->Automatic]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=(10^(x^2)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

Deriválás. 2+3+5+5 pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

(1/(x^3))+(Subscript[log, 3]) (x)-e ;       (x^(1/4)) sin(x);      ((-(x^2))^(1/4));      ln(((e^x)/(1+(e^x)))).

Derivált rajzolása. 10 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[ Abs[ (x-2)] (x+2) (E^(- 0.1x^2)),{x,-6,5},PlotRange->All,PlotLabel->TraditionalForm[f[x]]]

Függvényvizsgálat. 15+5 pont.

Tekintsük  az f(t)= (e^(-t))-(e^(-3t)) függvényt (t ≥0), ami egy extravaszkuláris gyógyszeradagolás esetén a vérszintgörbét írja le (t az idő).

a) Végezzen teljes függvényvizsgálatot a függvényen (t ≥0).

b) Adja meg az érintő egyenletét a legggyorsabb csökkenés helyén (inflexiós pont).

Elméleti feladat. 5 pont.

A szélsőértékek és a differenciálhányados tulajdonságai közti kapcsolatot kimondó tétel

Keverési feladat. 5 pont.

15g tömegű 20% -os oldatból  milyen módon kaphatunk 50% -os oldatot. Válasszon egy lehetséges oldatot, és ezzel adja meg a pontos megoldást.

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

((1/64)^(1/3)); 	 (Subscript[log, 5]) (1/125);	  (100^(lg 111)); 	 (Subscript[log, x]) (x^3)

Függvény fogalom. 5 pont.

Rajzoljon egy olyan görbét a derékszögű koordinátarendszerben, amely:
- függvény grafikonja, amelynek lokális minimuma van az x=1, 
- és inflexiós pontja az x=2 helyen.

Elemi függvények. 2+2+4 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

(1/(x^2));  -((x+2)^(1/( )))+1;  (Subscript[log, x])(1/x).

Inverz függvény. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(2^(x-1)) függvény (OverBar[f])(x) inverzét.  Ábrázolja az f és  (OverBar[f]) függvényeket.

Ábrázolás. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az 1/f(x) függvényt.

pbf=Plot[{Abs[x-2]((x)^2+0.4)},{x,-1,2.8},PlotRange->{0,2},
AspectRatio->Automatic]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét.  Indokolja a megoldást.

ParametricPlot[{Log[10,x],Log[10,100x^(-1/2)]},{x,0.1,10000},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-4,4}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-4,4}]},GridLines->{Table[Log[10,10.^i],{i,-4,8}],Table[Log[10,10.^i],{i,-4,8}]},PlotRange->All]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=(10^(-(Sqrt[x]))) függvényt logaritmikus koordinátarendszerben.

Deriválás. 2+3+5+5 pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

3sin(x)+(2^x)-π ;        ((e^x)/((e^x)+1));     (Sqrt[-(x^2)]);    ln((2^x)((x^3)+1)).

Derivált rajzolása. 10 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[ Abs[(x+1)](x-1)  (E^(- 0.3x^2)),{x,-5,5},PlotRange->All,PlotLabel->"f(x)"]

Függvényvizsgálat. 15+5 pont.

Az f(t)=(t^2) (e^(-t)) függvény egy járvány esetén a t pillanatban (t≥0) betegek arányát adja meg.

a) Végezzen teljes függvényvizsgálatot a függvényen.

b) Adja meg az érintő egyenletét a leggyorsabb növekedés helyén (inflexiós pont).