1. dolgozat - 2007. tanév

Elméleti feladat. 5 pont.

A monotonitás és a differenciálhányados tulajdonságai közti kapcsolatot kimondó tétel

Keverési feladat. 5 pont.

20% -os és 70%-os oldatokat milyen arányban keverjünk össze, hogy 55%-os oldatot kapjunk?

Elemi függvények. 2+3+5 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

(e^(-x+1));      -(2^(-x))+1;        (Subscript[log, x])(x^2).

Inverz függvény. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(e^(x-2))+1 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.  Ábrázolja az f és  (OverBar[f]) függvényeket.

Ábrázolás. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az ln( f(x)) függvényt.

paf=Plot[{Abs[x-2](x)^2},{x,-0.8,2.5},PlotRange->{0,2.5},
AspectRatio->Automatic]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=(10^(1-(Sqrt[x]))) függvényt logaritmikus koordinátarendszerben.

Logaritmikus koordináta rendszer. 10 pont.

Írja fel az alábbi grafikonokkal megadott függvények képletét. Indokolja a megoldást.

pa2=LogPlot[(10^(-2x/5+2)),{x,-1,5},GridLines->{Automatic,Automatic},PlotRange->{0.1,1000},AspectRatio->4/6];
pa3=LogLogPlot[(x^(1/3)),{x,0.001,10},GridLines->Automatic,AspectRatio->3/4,PlotRange->{{0.0009,10},{0.01,10}}];
Show[GraphicsArray[{pa2,pa3}]]

Deriválás. 5+5+5+5 pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

(x^(1/3)) ln(x);    ((e^(ln(x)+1))/(x )); ((e^x)/(1+(e^x)));     ln(-(x^2)).

Derivált keresése grafikusan. 10 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Plot[- (x-2) (((x+2))^2) (E^(- 0.6Abs[x])),{x,-15,15},PlotRange->All]

Függvényvizsgálat. 15+5 pont.

Tekintsük  az f(x)= (((x^2)-2x+2)/(e^x)) függvényt.

a) Végezzen teljes függvényvizsgálatot a függvényen.

b) Adja meg az érintő egyenletét az (Subscript[x, 0])=0 helyen és a legggyorsabb csökkenés helyén (inflexiós pont).

Elméleti feladat. 5 pont.

A szélsőértékek és a differenciálhányados tulajdonságai közti kapcsolatot kimondó tétel

Keverési feladat. 5 pont.

10g tömegű 25% -os oldatból  milyen módon kaphatunk 35% -os oldatot. Válasszon egy lehetséges oldatot, és ezzel adja meg a pontos megoldást.

Elemi függvények. 2+3+5 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

ln(x+3); -((x-1)^(1/( )))+2;  (Subscript[log, 2 ])((4^x)).

Inverz függvény. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=ln(x-1)+2 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.  Ábrázolja az f és  (OverBar[f]) függvényeket.

Ábrázolás. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az 1/f(x) függvényt.

pbf=Plot[{Abs[x-2]((x)^2+0.5)},{x,-1,2.8},PlotRange->{0,2},
AspectRatio->Automatic]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=(10^((x^(1/3))-2)) függvényt logaritmikus koordinátarendszerben.

Logaritmikus koordináta rendszer. 10 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét.  Indokolja a megoldást.

pb2=LogPlot[(10^(2x/5)),{x,-1,5},GridLines->{Automatic,{0.001,0.01,0.1,1,10,100}},PlotRange->{0.1,1000},AspectRatio->4/6];
pb3=LogLogPlot[(x^(-1/2)),{x,0.01,10},GridLines->Automatic,AspectRatio->2/3,PlotRange->{{0.009,10},{0.1,10}}];
Show[GraphicsArray[{pb2,pb3}]]

Deriválás. 5+5+5+5 pont.

Állapítsa meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

(Sqrt[x]) (e^x);         ln(x (e^x));         (1/((e^x)+1));        (Sqrt[-(2^x)]).

Derivált keresése grafikusan. 10 pont.

Vázolja fel az alábbi f(x) függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Plot[Sign[x] (x-1) (((x+1))^2) (E^(- Abs[x])),{x,-8,8}]

Függvényvizsgálat. 15+5 pont.

Az f(x)=(x +0.1)(e^(-x)) függvény egy járvány esetén az x pillanatban betegek arányát adja meg.

a) Végezzen teljes függvényvizsgálatot a függvényen.

b) Adja meg az érintő egyenletét az (Subscript[x, 0])=0 helyen és a legggyorsabb növekedés helyén (inflexiós pont).