1. dolgozat - 2006. tanév

Keverési feladat. 5 pont.

Egységnyi tömegű 20% -os oldatból  milyen módon kaphatunk 25% -os oldatot. Válasszon egy lehetséges oldatot, és ezzel adja meg a pontos megoldást.

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 5 pont.

Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket:

(((x^4)+x (y^(-1)))/((Sqrt[y])x));   	 ((2(Sqrt[2]))^(1/( 3))); 	 (Subscript[log, (Sqrt[3])]) (1/3);	  (100^(lg 3)); 	 (Subscript[log, 1/4]) 2.

Elemi függvények. 2+3+5+5 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

(e^(x+1));     sin(3 x);      -(2^(-x))+1;        (Subscript[log, x])1.

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az alábbi f(x) függvény (OverBar[f])(x) inverzének az értékét az (Subscript[y, 1])=0.5; (Subscript[y, 2])=1 helyeken ((OverBar[f])((Subscript[y, 1])),  (OverBar[f])((Subscript[y, 2])).

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. Ábrázolja az y=(10^(-sin(x))) függvényt logaritmikus koordinátarendszerben.

Logaritmikus koordináta rendszer. 10 pont.

Írja fel az alábbi grafikonokkal megadott függvények képletét. Indokolja a megoldást.

p2=LogPlot[(10^(-3/5x+1)),{x,-1,6},GridLines->{Automatic,{0.001,0.01,0.1,1,10,100}},AspectRatio->Automatic];
p3=LogLogPlot[0.1(x^(3/4)),{x,0.1,10^4},GridLines->{{0.0001,0.001,0.01,0.1,1.,10,100,1000,10000,100000},{0.001,0.01,0.1,1.,10,100,10}},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{All,{0.01,200}}];
Show[GraphicsArray[{p2,p3}]]

Ábrázolás. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az ln( f(x)) függvényt.

paf=Plot[{Abs[x](x-2)^2},{x,-0.4,2.8},PlotRange->{0,2},
AspectRatio->Automatic]

Deriválás. 5+5 pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

ln(-(x^2));     ((e^(ln(x)+1))/(x )).

Érintő. 5+10 pont.

Az f(x)=(1/(1+0.1(e^x))) függvény egy logisztikus csökkenési folyamatot ír le. Adja meg az érintő egyenletét az (Subscript[x, 0])=0 helyen és a legggyorsabb növekedés helyén (inflexiós pont).

Derivált keresése grafikusan. 10 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Végezzen függvényvizsgálatot  az f(x)=(-6+x) (x^2) függvényen.  Ábrázolja a függvényt.

Keverési feladat. 5 pont.

Egységnyi tömegű 20% -os oldatból  milyen módon kaphatunk 15% -os oldatot. Válasszon egy lehetséges oldatot, és ezzel adja meg a pontos megoldást.

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 5 pont.

Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket:

(((y^(-2))+y (x^(-3)))/((y^(1/4))x));	(64^(1/4));		(Subscript[log, 4]) (1/64);	  (100^(lg 1001));		(Subscript[log, 1/8]) 0.5.

Elemi függvények. 2+3+5+5 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

ln(x+2); - tg(3x);-((x-2)^(1/( 3)))+1;  (Subscript[log, 3 ])(((Sqrt[3])^x)).

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az alábbi f(x) függvény (OverBar[f])(x) inverzének az értékét az (Subscript[y, 1])=0.5; (Subscript[y, 2])=1 helyeken ((OverBar[f])((Subscript[y, 1])),  (OverBar[f])((Subscript[y, 2])) .

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. Ábrázolja az y=(10^((Sqrt[x])-2)) függvényt logaritmikus koordinátarendszerben.

Logaritmikus koordináta rendszer. 10 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét.  Indokolja a megoldást.

pb2=LogPlot[(10^(-2x/3+2)),{x,-1,5},GridLines->{Automatic,{0.001,0.01,0.1,1,10,100}},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0.1,1000}];
pb3=LogLogPlot[0.1(x^(-2/3)),{x,0.01,10000},GridLines->{{0.0001,0.001,0.01,0.1,1.,10,100,1000,10000},{0.001,0.01,0.1,1.,10,100,10}},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{All,{0.0001,10}}];
Show[GraphicsArray[{pb2,pb3}]]

Deriválás. 5+5 pont.

Állapítsa meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

(Sqrt[-(x^2)]);        (x^2)(e^(-(x^2))).

Ábrázolás. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az ln(f(x)) függvényt.

pbf=Plot[{Abs[x-2]((x)^2+0.5)},{x,-1,2.8},PlotRange->{0,2},
AspectRatio->Automatic]

Érintő. 5+10 pont.

Az f(x)=((e^x)/(10+(e^x))) függvény egy korlátozott növekedési folyamatot ír le. Adja meg az érintő egyenletét az (Subscript[x, 0])=0 helyen és a legggyorsabb növekedés helyén (inflexiós pont).

Derivált keresése grafikusan. 10 pont.

Vázolja fel az alábbi f(x) függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Végezzen függvényvizsgálatot  az f(x)=2 (x^2) (3+x) függvényen.  Ábrázolja a függvényt.