1. dolgozat - 2005. tanév

Elméleti feladat. 5 pont.

A konvexitás és a differenciálhányadosok tulajdonságai közti kapcsolatot kimondó tétel

Keverési feladat. 5 pont.

15% -os és 60%-os oldatokat milyen arányban keverjünk össze, hogy 50%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 5 pont.

Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket:

(((x^3)+x (y^2))/((Sqrt[x])y));   	 ((1/27)^(1/( 3))); 	 (Subscript[log, 4]) (1/2);	  (100^(lg 22)); 	 (Subscript[log, 1/3]) 9.

Elemi függvények. 3+3+4 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

ln(x-3)-1;        tg(π x);       (Sqrt[|x((|)^4)]).

Inverz függvény, transzformációk. 5+5 pont.

Határozza meg az f (x)=2+(Subscript[log, 3]) x függvény inverzét. Ábrázolja a függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 2+4+4 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja a (-1,10),(1,-2),(2,0.1),(3,2), (3,4),(4,3), (4,6), (5,0) pontokat (ha lehet!) logaritmikus koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg a pontok helyét.
 Ábrázolja az y=(10^(-3lg(x))) függvényt kettős logaritmikus koordinátarendszerben.

Logaritmikus koordináta rendszer. 10 pont.

Írja fel az alábbi grafikonokkal megadott függvények képletét. Indokolja a megoldást.

p2=LogPlot[(10^(3x/5-2)),{x,0,5},GridLines->{Automatic,{0.001,0.01,0.1,1,10,100}},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0.001,100}];
p3=LogLogPlot[0.1(x^(-3/4)),{x,0.00001,10^3},GridLines->{{0.0001,0.001,0.01,0.1,1.,10,100,1000,10000,100000},{0.001,0.01,0.1,1.,10,100,10}},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{All,{0.001,200}}];
Show[GraphicsArray[{p2,p3}]]

Deriválás. 2+3+3+4 pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

3(x^3)-tg(x)-π;      (x^2) cos(x) ;      ln(-(x^2));     ((e^(ln(x)+1))/(x )).

Érintő egyenlete. 3+5 pont.

Az f(x)=(2^(-x)) sin(π x) függvény egy csillapított rezgést ír le. Adja meg az érintő egyenletét az (Subscript[x, 0])=0 helyen. Ennek segítségével adjon közelítést az f(0.1) értékre.

Derivált keresése grafikusan. 10 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Plot[  (2^(- Abs[(x-1)]^1.4)) Abs[x-2],{x,-5,6},AspectRatio->0.3,PlotRange->{0,1.3}]

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Végezzen függvényvizsgálatot  az f(x)=(1/2) (x^3) (2+x) függvényen.  Ábrázolja a függvényt.

Elméleti feladat. 5 pont.

A differenciálhányados definíciója és az érintő egyenlete.

Keverési feladat. 5 pont.

Egységnyi tömegű 20% -os oldatból  milyen módon kaphatunk 40% -os oldatot. Válasszon egy lehetséges oldatot, és ezzel adja meg a pontos megoldást.

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 5 pont.

Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket:

(((y^3)+y (x^2))/((Sqrt[y])x));	(24^(1/3));		(Subscript[log, 4]) (1/64);	  (1000^(lg 1001));		(Subscript[log, 1/27]) 3.

Elemi függvények. 3+3+4 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját: ((x+1)^(1/3));  ln(3 x);  (Subscript[log, 2 ])((4^x)).

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Határozza meg az f (x)=(2^(x-3))  függvény inverzét. Ábrázolja a függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 2+2+4 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja a (-1,-3),(1,0.2),(2,2),(3,4),(3,0.4),(4,6),(4,0),(5,-0.6) pontokat (ha lehet!) logaritmikus koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg a pontok helyét. Ábrázolja az y=(10^(-(((x-1))^2)-2)) függvényt logaritmikus koordinátarendszerben.

Logaritmikus koordináta rendszer. 10 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét.  Indokolja a megoldást.

pb2=LogPlot[(10^(-4x/5+2)),{x,0,5},GridLines->{Automatic,{0.001,0.01,0.1,1,10,100}},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0.001,100}];
pb3=LogLogPlot[(x^(2/3)),{x,0.0005,4},GridLines->{{0.0001,0.001,0.01,0.1,1.,10,100,1000},{0.001,0.01,0.1,1.,10,100,10}},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{All,{0.005,5}}];
Show[GraphicsArray[{pb2,pb3}]]

Deriválás. 2+3+3+4 pont.

Állapítsa meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

(1/(x^4))+(Subscript[log, 2]) (x)-π ;    ((ln(x-2))/(1+x));       (Sqrt[-(x^4)]);   ((ln((e^x)))/(x^2)).

Érintő egyenlete. 3+5 pont.

Az f(x)=(e^(- x)) cos((π/6)+x) függvény egy csillapított rezgést ír le. Adja meg az érintő egyenletét az (Subscript[x, 0])=0 helyen. Ennek segítségével adjon közelítést az f(0.1) értékre.

Derivált keresése grafikusan. 10 pont.

Vázolja fel az alábbi f(x) függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Plot[Evaluate[( (2^(- Abs[(x-1)]^1.4)) Abs[x-2])/.x->(-x)],{x,-5,4},AspectRatio->0.3,PlotRange->{0,1.5}]

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Végezzen függvényvizsgálatot  az f(x)=(-4+x) (x^3) függvényen.  Ábrázolja a függvényt.