1. dolgozat - 2002. tanév

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi   20 % -os oldatot adjunk 60 % -os oldathoz, hogy 5 kg 40 %-os oldatot kapjunk?

Elemi függvények. 5+10 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

|x-2|; (1/(x-1));   ctg x; (2^(-x)); (Subscript[log, 0.5]) x ; (Subscript[log, 2])((x+2)^(1/5));   ((x+1)/(x+3)).

Függvényfelismerés. 10 pont.

Rajzoljon egy-egy olyan görbét a derékszögű koordinátarendszerben, amely:
	- nem függvénygrafikon;
	- nemcsökkenõ de nem szigorúan növõ függvény grafikonja;
	- folytonos függvény grafikonja, amely mindenütt deriválható kivéve az  (Subscript[x, 0])=1 helyen.

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Határozza meg az f (x)=3 (1-(2^x))  függvény inverzét. Ábrázolja a függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 10 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát. Ábrázolja az  f (x)=(10^(Sqrt[x-1]))  függvényt és a (2,2),(3,4),(4,0.4)  pontokat  logaritmikus koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét.

Deriválás. 15 pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

((2^x)/((2^x)-1)) ;       (((x^3) (ln(x)+1))/(2^(cos(x))));       (Sqrt[cos(x)-1]).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(((x^2)+ 2x)^(1/3))   függvény érintőjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 2 helyen.

Derivált keresése grafikusan. 10 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Plot[(x)(x)  (1.4^(-2 Abs[x])) Abs[x-3]+Sign[x-6],{x,-2,12},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1,4}]

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Határozza meg  az f(x)=-(x^2)+(x^3)-((x^4)/4) függvény szélsőértékeit és a monoton szakaszokat.  Ábrázolja a függvényt.

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi   30 % -os oldatot adjunk  50 % -os oldathoz, hogy 20 kg 45%-os oldatot kapjunk?

Elemi függvények. 5+10 pont.

Adja meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

|-x+2|; (1/(x^2));   tg x; (2^x); (Subscript[log, 3]) (-x) ; (((Subscript[log, 1/3])(x+2))^2);    ((x-2)/(x-3)).

Függvényfelismerés. 10 pont.

Rajzoljon egy-egy olyan görbét a derékszögű koordinátarendszerben, amely:
- függvény grafikonja, amely értelmezve van a [0,1] intervallumon, kivéve az (Subscript[x, 0])=0.3 helyet,
- nem kölcsönösen egyértelmű függvény grafikonja,
- monoton függvény grafikonja, amely mindenütt folytonos, kivéve az  (Subscript[x, 0])=1 helyen.

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(3^(1-2 x))  függvény inverzét valamely  intervallumon.  Ábrázolja a függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 10 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát. Ábrázolja az  f(x)=(10^((x^2)-1))  függvényt és a   (1,0.01),(3,0.3),(4,19) pontokat logaritmikus koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét.

Deriválás. 15 pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

(((e^x)-(e^(-x)))/((e^x)+(e^(-x)))) ;     ((Sqrt[x])/((x^2)-4 ));     ln(-(x^2)).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(Subscript[log, 3]) ((x^4)+4x+3)  függvény érintőjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 2  helyen.

Derivált keresése grafikusan. 10 pont.

Vázolja fel az alábbi f(x) függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Plot[-((x)(x)  (1.4^(-2 Abs[x])) Abs[x-3]+Sign[x-6])/.x->-x,{x,-2,12},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-4,1}]

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Határozza meg  az f(x)=(x^2)+(x^3)+((x^4)/4) függvény szélsőértékeit és a monoton szakaszokat.  Ábrázolja a függvényt.