1. dolgozat - 2001. tanév

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi   25 % -os oldatot adjunk 10kg 60 % -os oldathoz, hogy 40%-os oldatot kapjunk?

Elemi függvények. 5+15 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

|x+1|; (1/x);   tg x; (3^(-x)); (Subscript[log, 0.5]) x ; (Subscript[log, 2])((x-2)^(1/5));   ((x-1)/(x-3));  2 (1-(2^x)).

Függvényfelismerés. 10 pont.

Rajzoljon egy-egy olyan görbét a derékszögű koordinátarendszerben, amely:
- nem függvénygrafikon,
- köcsönösen egyértelmű függvény grafikonja,
- függvény grafikonja, amely mindenütt folytonos kivéve az  (Subscript[x, 0])=1 helyen.

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Határozza meg az f (x)=(Subscript[log, 2]) (x-3)  függvény inverzét valamely intervallumon. Ábrázolja a függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 10 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát. Ábrázolja az  f (x)=(10^((x^2)-3))  függvényt és a      (2,0.01),(3,3),(4,1)   pontokat  logaritmikus koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét.

Deriválás. 15 pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

((e^x)/((e^x)-1)) ;       (((x^3) (log(x)+1))/(2^(cos(x))));       (Sqrt[sin(x)-2]).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Határozza meg az f( x)=(Sqrt[(x^3)+2 x+1])   függvény érintőjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 1 helyen. Az érintő segítségével adjon becslést a függvény értékére az  (Subscript[x, 1])= 1.1  helyen.

Derivált keresése grafikusan. 10 pont.

Vázolja fel az alábbi f(x) függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Plot[2(x)(x)  (1.5^(-2 x)) Abs[x-3],{x,-2,10},AspectRatio->Automatic]

Függvényvizsgálat. 10 pont.

Határozza meg  az  f( x)=(x-6) (x-2) (x^2)  függvény szélsőértékeit és a monoton szakaszokat.

(*) Függvényvizsgálat (folytatás). 10 pont.

Folytassa  az elõzõ feladatot: végezzen teljes függvényvizsgálatot és ábrázolja a függvényt.

(*) Határérték. 10 pont.

Ábrázolja az alábbi grafikonnal megadott függvény reciprokát, és adja meg a reciprok határértékeit a szakadási helyeken.

Plot[(x(x+1)Abs[(x-2)])/x,{x,-2,3},AspectRatio->1/2,PlotRange->{-5,5}]

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi   15 % -os oldatot adjunk  55 % -os oldathoz, hogy 10kg 40%-os oldatot kapjunk?

Elemi függvények. 5+15 pont.

Adja meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

|-x+2|; (1/(x^2));   ctg x; (2^x); (Subscript[log, 3]) x ; (((Subscript[log, 1/3])(x+2))^2);    ((x-2)/(x+1));   3 (1-(3^(-x))).

Függvényfelismerés. 10 pont.

Rajzoljon egy-egy olyan görbét a derékszögű koordinátarendszerben, amely:
- függvény grafikonja, amely értelmezve van a [0,1] intervallumon, kivéve az (Subscript[x, 0])=0.6 helyet,
- nem kölcsönösen egyértelmű függvény grafikonja,
- függvény grafikonja, amely mindenütt deriválható, kivéve az  (Subscript[x, 0])=1 helyen.

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Határozza meg az f( x)=(5^(1-2 x))  függvény inverzét valamely  intervallumon. Ábrázolja a függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 10 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát. Ábrázolja az  f( x)=(10^(sin x+1))  függvényt és a   (1,0.001),(3,2),(4,13)  pontokat  logaritmikus koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét.

Deriválás. 15. pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

((e^(-x))/((e^x)+(e^(-x)))) ;      (((x^4)ln(ln(x)))/(3^(sin(x))));      (Sqrt[(x^2)-4]).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(((x^4)+4 x+8)^(1/5))  függvény érintőjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 2  helyen. Az érintő segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= 2.1 helyen.

Derivált keresése grafikusan. 10 pont.

Vázolja fel az alábbi f(x) függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

gg[u_]:=(-(x-2) (x+2) (1.4^(-2 x)) Abs[x])/.x->(u-2)
Plot[gg[x],{x,0,12},AspectRatio->(1/2)]

Függvényvizsgálat. 10 pont.

Határozza meg  az f(x)=-(x^2) ((x^2)-4 x-18) függvény szélsőértékeit és a monoton szakaszokat.

(*) Függvényvizsgálat (folytatás). 10 pont.

Folytassa  az elõzõ feladatot: végezzen teljes függvényvizsgálatot és ábrázolja a függvényt.

(*) Határérték. 10 pont.

Ábrázolja az alábbi grafikonnal megadott függvény reciprokát, és adja meg a reciprok határértékeit a szakadási helyeken.

Plot[0.5(x(((-x+1))^3)Abs[(x+1)])/x,{x,-1.2,2},AspectRatio->0.6]