1. dolgozat - 2000. tanév

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi 20 % -os és 50 % -os oldatot keverjünk össze,  hogy 15 kg 35%-os oldatot kapjunk?

Függvényfelismerés. 10 pont.

Az alábbi görbék közül melyik függvény grafikonja? A függvények  esetén  adja meg a kölcsönösen egyértelmű szakaszokat, a nem függvényekből vágjon ki függvénygrafikonokat!

Show[GraphicsArray[Partition[
{ParametricPlot[{Sin[x^3],x},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Sin[x],-x/2},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,x^3},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x Sin[x],x Cos[x]},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Cos[x],Sin[x]/(x^2+2)},
 {x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1]},5]]]

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Az ábrákon láthatóak közül melyik görbe  tekinthető  az  f(x)= (((x+2))^3)-1  függvény inverzének valamely intervallumon. Adja meg az  inverz képletét!

Clear[f]
f[x_]:=(((x+2))^3)-1 
	if=x/. (Solve[f[x]==y,x] /. y->x)[[1]];
Plot[{f[x]},{x,-4,0},PlotRange->{-4,4},
AspectRatio->Automatic];
Show[GraphicsArray[Partition[{Plot[-f[-x],{x,0.5,3.5},PlotRange->{-1,2},AspectRatio->Automatic],ParametricPlot[{f[x-1],x+2},{x,-6,6},PlotRange->{-4,3},AspectRatio->Automatic],ParametricPlot[{f[x],x},{x,-4,0},AspectRatio->Automatic,PlotRange->All]},3]]]

Inverz. 3 pont.

Határozza meg az alábbi grafikonnal megadott  f(x) függvény inverzének a 1 és  3 helyeken felvett értékét.

Plot[4*4^(-x),{x,0, 4}]

Értelmezési tartomány, grafikon. 2+2+2+3+3 pont.

Adja meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és vázolja a grafikonját:

ctg(x);  cos(x);  (1/(x^2));  ((x-2)^(1/4))+1;  3(1- (3^(-x))).

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Ábrázolja az  f(x)=10^(-2x+1)  függvényt és a      (2,5),(3,3),(4,0.01)   pontokat  logaritmikus koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét.

Deriválás. 7+10 pont.

Határozza meg az alábbi függvények deriváltját:

ln(sin(x)+(2^x)) ;          (((sin(x)+1) ln((x^3)))/((x^2)-ctg(x))).

Derivált keresése grafikusan. 8 pont.

Vázolja fel az alábbi f(x) függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Plot[(x+2)x(x-1)1.5^(2x)+Abs[x+2],{x,-5,1},
AspectRatio->1/2]

Érintő egyenlete. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(((x^3)-2(x^2)+1)^(1/3)) függvény érintőjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 2 helyen. Az érintő segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= 1.9 helyen.

Függvényvizsgálat. 20 pont.

Végezzen teljes függvényvizsgálatot az f(x)=   (x^2) (-18+8 x+3 (x^2))  függvényen.  Végül ábrázolja a függvényt.