1. dolgozat - 1999. tanév

Elméleti kérdés. 10 pont.

A Newton iteráció függvény zéróhelyének közelítésére

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi 10 % -os és 40 % -os oldatot keverjünk össze,  hogy 12 kg 25%-os oldatot kapjunk?

Függvényfelismerés. 5 pont.

Az alábbi görbék közül melyik függvény grafikonja? A függvények  esetén  adja meg a kölcsönösen egyértelmû szakaszokat, a nem függvényekbõl vágjon ki függvénygrafikonokat!

Show[GraphicsArray[Partition[
{ParametricPlot[{Sin[x^2],x},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Sin[x],-x^3},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,x^4},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x^2 Sin[x],x^3 Cos[x]},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Cos[x^2],Sin[x]/(x^2+2)},
 {x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1]},5]]]

Inverz függvények, transzformációk. 10 pont.

Az ábrákon láthatóak közül melyik görbe  tekinthetõ  az  f(x)=(x/(x-2 )) függvény inverzének valamely intervallumon. Adja meg az adott inverz képletét!

Clear[f]
f[x_]:=(x)/(x-2)
	if=x/. (Solve[f[x]==y,x] /. y->x);
Plot[{f[x],if},{x,-4,3},PlotRange->{-4,4},
AspectRatio->Automatic];
Show[GraphicsArray[Partition[{Plot[-f[-x],{x,-6,4},PlotRange->{-4,4},AspectRatio->Automatic],Plot[Evaluate[if/.x->x-1],{x,-6,6},PlotRange->{-4,6},AspectRatio->Automatic],Plot[if,{x,-4,6},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-4,6}]},3]]]

Inverz. 3 pont.

Határozza meg az alábbi grafikonnal megadott  f(x) függvény inverzének a 0.5 és  2 helyeken felvett értékét.

Plot[3*3^(-x),{x,0, 6}]

Értelmezési tartomány, grafikon. 2+2+2+3+3 pont.

Adja meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és vázolja a grafikonját:

tg(x);  sin(x);  (1/(x^3));  ((x-1)^(1/3))+2;  2(1- (2^(-x))).

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Ábrázolja az  f(x)=(10^(4x-2))  függvényt és a      (2,4),(1.5,2),(3,0.1)   pontokat  log. koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét.

Deriválás. 5+5+7+8 pont.

Határozza meg az alábbi függvények deriváltját:

(Sqrt[1-(x^3);])   sin(x)(1-(2^x));    sin((3^x)cos x);    (((x+2)ln((x^2)))/(x-tg(x))).

Érintő egyenlete. 5 pont.

Határozza meg az f(x)=(1/((x^2)-x)) függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 2 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= 1.9 helyen.

Derivált keresése grafikusan. 5 pont.

Vázolja fel az alábbi függvény deriváltját. Jelölje be a lokális szélsõértékeket és inflexiós pontokat!

Plot[2(x+1)x(x-1)2^(-x),{x,-1,8},
AspectRatio->1/2]

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Határozza meg az f(x)=  -(x^2) ( (x^2)-2x-2) függvény lokális maximum, minimum  helyeit, inflexiós pontjait. Ábrázolja a függvényt

Elméleti kérdés. 10 pont.

A szélsõérték és a derivált kapcsolata, a tételek kimondása.

Keverési feladat. 5 pont.

Milyen arányban keverjünk össze 21% -os és 60% -os oldatot,  hogy 25%-os oldatot kapjunk?

Függvényfelismerés. 5 pont.

Az alábbi görbék közül melyik függvény grafikonja? A függvények  esetén  adja meg a kölcsönösen egyértelmû szakaszokat, a nem függvényekbõl vágjon ki függvénygrafikonokat!

Show[GraphicsArray[Partition[
{ParametricPlot[{Sin[2x],x^2},{x,-2,2},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Cos[x],-x},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,x^3},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,x Cos[x]},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Cos[x^3],Sin[x]/(x+4)},
 {x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1]},5]]]

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Az ábrákon láthatóak közül melyik görbe  tekinthetõ  az  f(x)=((x+1)/(x+2 )) függvény inverzének valamely intervallumon. Adja meg az adott inverz képletét!

fb3[x_]:=(x+1)/(x+2);
	ifb=x/. (Solve[fb3[x]==y,x] /. y->x);
Plot[{fb3[x],ifb},{x,-4,3},PlotRange->{-4,4},
AspectRatio->Automatic];
Show[GraphicsArray[Partition[{Plot[-fb3[-x],{x,-6,4},PlotRange->{-4,4},AspectRatio->Automatic],Plot[Evaluate[ifb/.x->x+2],{x,-6,6},PlotRange->{-4,6},AspectRatio->Automatic],Plot[ifb,{x,-4,6},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-4,6}]},3]]]

Inverz. 3 pont.

Határozza meg az alábbi grafikonnal megadott  f(x) függvény inverzének  a 3.5 és  5 helyeken  felvett értékét.

Plot[-2+2*1.3^(x),{x,0, 6}]

Értelmezési tartomány, grafikon. 2+2+2+3+3 pont.

Adja meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és vázolja a grafikonját:

cos(x);   (1/x);  (Sqrt[x-2])+3;  ctg(πx) ;       1- (e^(-x)).

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Ábrázolja az  f(x)=(10^(-3x+4))  függvényt és a      (3,2),(1,3),(3,0.01)   pontokat  log. koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét.

Deriválás. 5+5+7+8 pont.

Határozza meg az alábbi függvények deriváltját:

ln(2-(x^3));   ln(x)cos((x^2));   (Sqrt[ (2^(-x))cos x]);    (((x-3)(x^2))/(x-ctg(ln(x)))).

Érintő egyenlete. 5 pont.

Határozza meg az f(x)=(1/(2(x^3)-x)) függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 1 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= 0.9 helyen.

Derivált keresése grafikusan. 5 pont.

Vázolja fel az alábbi függvény deriváltját. Jelölje be a lokális szélsõértékeket és inflexiós pontokat.

Plot[2(x-1)x(x+2)2^(x),{x,-10,1},
AspectRatio->1/2]

Függvényvizsgálat. 15 pont.

Határozza meg az f(x)= -((3 (x^2))/2)+((2 (x^3))/3)+((x^4)/4) függvény lokális maximum, minimum  helyeit, inflexiós pontjait. Ábrázolja a függvényt.