1. dolgozat - 1998. tanév

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi 30 % -os és 20 % -os oldatot keverjünk össze,  hogy 15 kg 23%-os oldatot kapjunk?

Függvényfelismerés. 5 pont.

Az alábbi görbék közül melyik függvény grafikonja? A függvények  esetén  adja meg a kölcsönösen egyértelmû szakaszokat, a nem függvényekbõl vágjon ki függvénygrafikonokat!

Show[GraphicsArray[Partition[
{ParametricPlot[{Sin[x],x},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Cos[x],-x^3},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,x^3},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x Sin[x],x^2 Cos[x]},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Cos[x],Sin[x]/(x^2+2)},
 {x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1]},5]]]

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Az ábrákon láthatóak közül melyik görbe  tekinthetõ  az  f(x)=(x/(x+1 )) függvény invezének valamely intervallumon. Adja meg az adott inverz képletét!

Clear[f]
f[x_]:=(x)/(x+1)
	if=x/. (Solve[f[x]==y,x] /. y->x);
Plot[{f[x],if},{x,-4,3},PlotRange->{-4,4},
AspectRatio->Automatic];
Show[GraphicsArray[Partition[{Plot[-f[x],{x,-6,4},PlotRange->{-4,4},AspectRatio->Automatic],Plot[if,{x,-6,4},PlotRange->{-4,4},AspectRatio->Automatic],Plot[Evaluate[if/.x->x+1],{x,-4,4},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-4,3}]},3]]]

Inverz. 3 pont.

Határozza meg az alábbi grafikonnal megadott  f(x) függvény inverzének az értékét az 1 és 1.5 helyeken.

Plot[2*2^(-x),{x,0, 6}]

Értelmezési tartomány, grafikon. 2+2+2+3 pont.

Adja meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és vázolja a grafikonját:

ctg(x);  (Sqrt[x+2]);  (1/(x^2));     ln (-x)-2 ;       1- (3^(-x)).

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Ábrázolja az  f(x)=(10^(-3x+2))  függvényt és a      (2,4),(1.5,2),(3,0.1)   pontokat  egy megfelelõ log. koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét.

Deriválás. 5+5+7+8 pont.

Határozza meg az alábbi függvények deriváltját:

(Sqrt[1-(x^2);])   (3^x)(1-ln x);    ln((10^x)cos x);    (((x-1)cos((e^x)))/((x^2)-x)).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(Sqrt[(x^4)+3x]) függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 1 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= 1.1 helyen.

Derivált alkalmazásai. 5 pont.

Egy mozgó test által megtett utat az s(t)=2(((t+1))^2)+3  útfüggvény írja le. Határozza meg a test helyét, pillanatnyi sebességét és gyorsulását a T=3 pillanatban.

Derivált keresése grafikusan. 5 pont.

Vázolja fel az alábbi függvény deriváltját. Jelölje be a lokális szélsõértékeket és inflexiós pontokat

Plot[2(x-2)x^2(x+1)4^(-x),{x,-1,8},
AspectRatio->Automatic]

Függvényvizsgálat. 10 pont.

Határozza meg az f(x)= (1/12) (x^2) (3(x^2)-4 x-12) függvény lokális maximum, minimum  helyeit.

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=(e^(-(x^2)))  függvény negyedfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0  hely körül.

Keverési feladat. 5 pont.

12 kg  30 % -os oldathoz mennyi   50 % -os oldatot keverjünk, hogy  35%-os oldatot kapjunk?

Függvényfelismerés. 5 pont.

Az alábbi görbék közül, melyik függvény grafikonja? A függvények  esetén  adja meg a kölcsönösen egyértelmû szakaszokat, a nem függvényekbõl vágjon ki függvénygrafikonokat!

Show[GraphicsArray[Partition[
{ParametricPlot[{Sin[x],x^3},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,-x^3},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,x^2},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,Sin[x]},
 {x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1]},5]]]

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Az ábrákon láthatóak közül melyik görbe  tekinthetõ  az  f(x)=(((x-2))^(1/3))+1  függvény invezének valamely intervallumon. Adja meg az adott inverz képletét!

fb3[x_]:=((x-2)^(1/3))+1;
fb31[x_]:=Sign[x-2]((Abs[x-2])^(1/3))+1;
	if=x/. (Solve[fb3[x]==y,x] /. y->x);
Plot[{fb31[x],if},{x,-3,6},PlotRange->{-2,4},
AspectRatio->Automatic];
Show[GraphicsArray[Partition[{Plot[-fb31[x]+1,{x,-2,4},PlotRange->{-2,2},AspectRatio->Automatic],Plot[Evaluate[if/.x->x-2],{x,-2,6},PlotRange->{-2,6},AspectRatio->Automatic],Plot[Evaluate[if],{x,-4,4},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-2,6}]},3]]]

Inverz. 3 pont.

Határozza meg az alábbi grafikonnal megadott  f(x) függvény inverzének az értékét az 0.5  és 1.5 helyeken.

Plot[2(1-2^(-x)),{x,0, 8}]

Értelmezési tartomány, grafikon. 2+2+2+3+3 pont.

Adja meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és vázolja a grafikonját:

tg(x);  (1/x);  (Sqrt[x])-1;    ln |-x| ;       2- (2^x).

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Ábrázolja az  f(x)=(10^(x-3))  függvényt és az      (1,3),(2,4),(1,0.1)   pontokat  egy megfelelõ log. koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét.

Deriválás. 5+5+7+8 pont.

Határozza meg az alábbi függvények deriváltját:

(( 1-(x^5))^(1/3));   (2^x)(1-cos x);    sin((0.5^x)+ln x);    (((((e^x)+x))^100)/(cos x)).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(Sqrt[(x^3)+(x/2)]) függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 2 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= 1.92  helyen.

Derivált alkalmazásai. 5 pont.

Egy mozgó test által megtett utat az s(t)=2(((t+1))^2)+3  útfüggvény írja le. Határozza meg a test helyét, pillanatnyi sebességét és gyorsulását a T=3 pillanatban.

Derivált keresése grafikusan. 5 pont.

Vázolja fel az alábbi függvény deriváltját. Jelolje be a lokális szélsõértékeket és inflexiós pontokat.

Plot[3(x+1)x(x-1)4^(x),{x,-6,1},
AspectRatio->Automatic]

Függvényvizsgálat. 10 pont.

Határozza meg az f(x)= 1+ ((x^2)/2)-((2 (x^3))/3)+((x^4)/4) függvény lokális maximum, minimum  helyeit.

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=(x+1) ln x  függvény harmadfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=1  hely körül.

Keverési feladat. 5 pont.

24 kg  60 % -os oldathoz mennyi   20 % -os oldatot keverjünk, hogy  30%-os oldatot kapjunk?

Függvényfelismerés. 5 pont.

Az alábbi görbék közül, melyik függvény grafikonja? A függvények  esetén  adja meg a kölcsönösen egyértelmû szakaszokat, a nem függvényekbõl vágjon ki függvénygrafikonokat!

Show[GraphicsArray[Partition[
{ParametricPlot[{Sin[x],x},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x^2,-x^3},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,x^4},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Sin[x]^3,Cos[x]},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,Cos[x]},
 {x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1]},5]]]

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Az ábrákon láthatóak közül melyik görbe  tekinthetõ  az  f(x)=(((x+1))^(1/3))-2  függvény invezének valamely intervallumon. Adja meg az adott inverz képletét!

fc3[x_]:=((x+1)^(1/3))-2;
fc31[x_]:=Sign[x+1]((Abs[x+1])^(1/3))-2;
	ifc=x/. (Solve[fc3[x]==y,x] /. y->x);
Plot[{fc31[x],ifc},{x,-5,3},PlotRange->{-4,3},
AspectRatio->Automatic];
Show[GraphicsArray[Partition[{Plot[fc31[x]+1,{x,-5,3},PlotRange->{-4,2},AspectRatio->Automatic],Plot[Evaluate[ifc/.x->x-2],{x,-2,2},PlotRange->{-5,3},AspectRatio->Automatic],Plot[Evaluate[ifc],{x,-4,1},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-4,2}]},3]]]

Inverz. 3 pont.

Határozza meg az alábbi grafikonnal megadott  f(x) függvény inverzének az értékét az 0.5  és 1.5 helyeken.

Plot[2(1-1.5^(-x)),{x,0, 8}]

Értelmezési tartomány, grafikon. 2+2+2+3+3 pont.

Adja meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és vázolja a grafikonját:

ln x;  (1/(x-1)); ((|x|)^(1/3));    (((x-2))^3)-3;       1(((- 3))^x).

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Ábrázolja az  f(x)=(10^(sin x))  függvényt és az      (1,5),(1.5,3),(1,0.01)   pontokat  egy megfelelõ log. koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét.

Deriválás. 5+5+7+8 pont.

Határozza meg az alábbi függvények deriváltját:

(Sqrt[ x+(x^3)]);   (3^x)(1-tg x);    cos((5^x)lg x);    (((((e^(-x))+(x^2)))^99)/(ctg x)).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(Sqrt[-(x^2)+5x]) függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 1 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= 0.98 helyen.

Derivált alkalmazásai. 5 pont.

Egy mozgó test által megtett utat az s(t)=2sin (t+1)  útfüggvény írja le. Határozza meg a test helyét, pillanatnyi sebességét és gyorsulását a T=0 pillanatban.

Derivált keresése grafikusan. 5 pont.

Vázolja fel az alábbi függvény deriváltját. Jelölje be a lokális szélsõértékeket és inflexiós pontokat

Plot[-3(x-1)x(x+1)4^(-x^2),{x,-3,3},
AspectRatio->Automatic]

Függvényvizsgálat. 10 pont.

Határozza meg az f(x)= π-2 (x^2)+((4 (x^3))/3)-((x^4)/4) függvény lokális maximum, minimum  helyeit.

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=(Sqrt[(x^2)+1])  függvény harmadfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=1  hely körül.

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi 12 % -os és 36 % -os oldatot keverjünk össze,  hogy 10 kg 20%-os oldatot kapjunk?

Függvényfelismerés. 5 pont.

Az alábbi görbék közül melyik függvény grafikonja? A függvények  esetén  adja meg a kölcsönösen egyértelmû szakaszokat, a nem függvényekbõl vágjon ki függvénygrafikonokat!

Show[GraphicsArray[Partition[
{ParametricPlot[{x,Sin[3x]},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Cos[3x],-x^3},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x^3,x},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x Cos[x],x^2 Sin[x]},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,Cos[x]/(x^2+2)},
 {x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1]},5]]]

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Az ábrákon láthatóak közül melyik görbe  tekinthetõ  az  f(x)=(x/(x-3 )) függvény invezének valamely intervallumon. Adja meg az adott inverz képletét!

fd3[x_]:=(x)/(x-3);
	ifd=x/. (Solve[fd3[x]==y,x] /. y->x);
Plot[{fd3[x],ifd},{x,-4,7},PlotRange->{-4,8},
AspectRatio->Automatic];
Show[GraphicsArray[Partition[{Plot[-fd3[x],{x,-4,7},PlotRange->{-5,3},AspectRatio->Automatic],Plot[ifd,{x,-4,7},PlotRange->{-3,8},AspectRatio->Automatic],Plot[Evaluate[ifd/.x->x+1],{x,-5,7},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-3,10}]},3]]]

Inverz. 3 pont.

Határozza meg az alábbi grafikonnal megadott  f(x) függvény inverzének az értékét az 1 és 1.5 helyeken.

Plot[2*1.5^(-x),{x,0, 6}]

Értelmezési tartomány, grafikon. 2+2+2+3+3 pont.

Adja meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és vázolja a grafikonját:

(2^x);  -(Sqrt[x-3]);  (1/(|x|));     -ln (x)+1 ;      2- (4^(-x)).

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Ábrázolja az  f(x)=(10^(-(x^2)))  függvényt és a      (2,2),(1.5,4),(1,0.1)   pontokat  egy megfelelõ log. koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét.

Deriválás. 5+5+7+8 pont.

Határozza meg az alábbi függvények deriváltját:

(Sqrt[1+sin x ]);   (10^(-x))(1-(1/x));    (((ln x cos x))^9);    ((((x^2)+1)(e^(sin x)))/(x-1)).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=√(x^2-3x) függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= -1 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= -0.85 helyen.

Derivált alkalmazásai. 5 pont.

Egy mozgó test által megtett utat az s(t)=cos 3t  útfüggvény írja le. Határozza meg a test helyét, pillanatnyi sebességét és gyorsulását a T=π/2 pillanatban.

Derivált keresése grafikusan. 5 pont.

Vázolja fel az alábbi függvény deriváltját. Jelölje be a lokális szélsõértékeket és inflexiós pontokat.

Plot[-2(x+2)x^2(x-1)2^(-x^2),{x,-4,4},
AspectRatio->Automatic]

Függvényvizsgálat. 10 pont.

Határozza meg az f(x)= -(((-2+x))^2) (x^2) függvény lokális maximum, minimum  helyeit.

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=(((ln x))^2)  függvény harmadfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=1  hely körül.