1. dolgozat - 1997. tanév

Keverési feladat. 5 pont.

15 kg 30 % -os sóoldatunk van.  21 % -os oldatra van szükségünk. A raktáron levõ  90, 70, 20, 10, 5 %-os oldatok közül egyet kiválasztva, mekkora mennyiséget keverjünk az eredeti oldathoz? Melyik oldatokat választhatjuk és miért?

Függvényfelismerés. 5 pont.

Az alábbi görbék közül, melyik függvény grafikonja? A függvények  esetén  adja meg a kölcsönösen egyértelmû szakaszokat, a nem függvényekbõl vágjon ki függvénygrafikonokat!

Show[GraphicsArray[Partition[
{ParametricPlot[{x,Sin[x]},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Cos[x],Sin[x]},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,x^2},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Sin[x],x Cos[x]},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Cos[x],Sin[x]/(x^2+1)},
 {x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1]},5]]]

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Az ábrákon láthatóak közül melyik görbe  tekinthetõ  az  f(x)=(((x-1))^2)+2  függvény invezének valamely intervallumon. Adja meg az adott inverz képletét és az  intervallumot is. Ábrázolja az f(x) függvényt!

Show[GraphicsArray[Partition[
{Plot[Sqrt[x-1]+1,{x,1,6},PlotRange->
{{0,8},{-1,3}},AspectRatio->Automatic],
 Plot[-Sqrt[x-2]+1,{x,2,6},PlotRange->
 {{0,8},{-1,3}},AspectRatio->Automatic],
 ParametricPlot[{(x-1)^2,x},{x,-1,4},AspectRatio->Automatic, PlotRange->{{0,6},{-1,3}}]},3]]]

Értelmezési tartomány, grafikon. 10 pont.

Adja meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és vázolja a grafikonját:

f(x)=(Subscript[log, 2]) (-x+1)-2 ;       g(x)=ctg πx +1.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Ábrázolja az  f(x)=(10^(-x/2+1))  függvényt és a      (2,10),(1.5,2),(3,0.1)   pontokat  egy megfelelõ log. koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét. Becslés alapján próbáljon készíteni részletesebb log. skálát az [1,10] intervallumon.

Deriválás. 4+8+8 pont.

Határozza meg az alábbi függvények deriváltját:

(2^x)(1-(x^3));         (10^(x+lg(x-2)))cos x;           (((x-1)sin((x^2)))/((x^2)-x-1)).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(Sqrt[(x^3)+1]) függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 2 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= 2.1 helyen.

Derivált alkalmazásai. 10 pont.

Egy mozgó test által megtett utat az s(t)=3(((t-1))^2)+2  útfüggvény írja le. Határozza meg a test helyét, pillanatnyi sebességét és gyorsulását a T=2 pillanatban.

Függvénytulajdonságok grafikusan. 5+5 pont.

Jellemezze az ábrán látható függvényt: ért. tartomány, értékkészlet, folytonosság, szakadási helyek, határértékek a szakadásoknál.
Hol vannak a  lokális szélsõértékek, inflexiós pontok és monoton szakaszok?

Plot[Abs[x/4]^0.5 Abs[x-1]^0.5 (x-1)^(-1)(x-2)^2 ,{x,-1,3},
PlotRange->{-3,3},AspectRatio->1/2]

Derivált keresése grafikusan. 5 pont.

Az elsõ ábrán megadott függvénynek melyik lehet a deriváltja a további ábrákon láthatóak közül? 
Indokoljon!

Clear[ff,x]
ff=Simplify[6 Integrate[(x+1)(x-2),x]+1]
Solve[D[ff,x]==0,x]
D[ff,{x,2}];
D[ff,x];
6 (x^2)-6 x-12;
Show[GraphicsArray[Partition[{Plot[ff,{x,-2,3},AspectRatio->1],Plot[Evaluate[-D[ff,x]-12],{x,-2,6},AspectRatio->1],Plot[Evaluate[D[ff,x]],{x,-2,3},AspectRatio->1],Plot[-0.5 ff,{x,-2,3}],AspectRatio->1},4]]]

Függvényvizsgálat. 10 pont.

Határozza meg az f(x)= (1/12) (x^2) ((x^2)-2 x-2) függvény maximum, minimum  helyeit és inflexiós pontjait.

Keverés. 5 pont.

10 kg 20 % -os sóoldatunk van.  24 % -os oldatra van szükségünk. A raktáron levõ  90, 70, 20, 10, 5 %-os oldatok közül egyet kiválasztva, mekkora mennyiséget keverjünk az eredeti oldathoz? Melyik oldatokat választhatjuk és miért?

Függvényfelismerés. 5 pont.

Az alábbi görbék közül, melyik függvény grafikonja? A függvények  esetén  adja meg a kölcsönösen egyértelmû szakaszokat, a nem függvényekbõl vágjon ki függvénygrafikonokat!

Show[GraphicsArray[Partition[
{ParametricPlot[{x,Cos[x]},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Cos[x],x^2},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Cos[x],x^1/3},{x,0,2Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,x Cos[x]},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Sin[2x],Cos[x]/(x^2+1)},
 {x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1]},5]]]

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Az ábrákon láthatóak közül melyik görbe  tekinthetõ  az f(x)=-(((x+3))^2)-2  függvény invezének valamely intervallumon. Adja meg az adott inverz képletét és az  intervallumot is. Ábrázolja az f(x) függvényt!

fb3[x_]:=-(x+3)^2-2
Show[GraphicsArray[Partition[
{ParametricPlot[
{fb3[x-1]+1,x},{x,-2,1},
PlotRange->{{-5,0},{-5,0}},AspectRatio->Automatic],
 ParametricPlot[{fb3[x],x},{x,-5,0},PlotRange->
 {{-5,0},{-5,0}},AspectRatio->Automatic],
 ParametricPlot[{fb3[x],x},{x,-8,-3},AspectRatio->Automatic, PlotRange->{{-5,0},{-5,0}}]},3]]]

Értelmezési tartomány, grafikon. 10 pont.

Adja meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és vázolja a grafikonját:

f(x)=(((-x+2))^(-2))+1 ;       g(x)=tg 2πx -π.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Ábrázolja az  f(x)=(10^(2x-4))  függvényt és a      (1,0.001),(1.5,0.03),(3,0.01)   pontokat  egy megfelelõ log. koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét. Becslés alapján próbáljon készíteni részletesebb log. skálát az [0.1,1] intervallumon.

Deriválás. 4+8+8 pont.

Határozza meg az alábbi függvények deriváltját:

(3^(-x))(sin(x)-x);        lg(x(10^(x-(3/x))))tg(x);       (((ln^2)(x))/((x^3)-(x^2)-x)).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(Sqrt[-(x^4)+5(x^2)]) függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 1 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= 0.9 helyen.

Derivált alkalmazásai. 10 pont.

Egy mozgó test által megtett utat az s(t)=4(((t-3))^2)-3t  útfüggvény írja le. Határozza meg a test helyét, pillanatnyi sebességét és gyorsulását a T=1  pillanatban.

Függvénytulajdonságok grafikusan. 5+5 pont.

Jellemezze az ábrán látható függvényt: ért. tartomány, értékkészlet, folytonosság, szakadási helyek, határértékek a szakadásoknál. Hol vannak a  lokális szélsõértékek, inflexiós pontok és monoton szakaszok?

Abs'[x_/; x>0]:=1 ;
Abs'[x_/; x<0]:=-1 ;
Sign'[x_]:=0;
Plot[-Abs[(x-1)/4]^0.5 Abs[x+1] (x+1)^(-1)(x+2)^2,{x,-3,2},PlotRange->{-4,1},AspectRatio->1/2,PlotPoints->100]

Derivált keresése grafikusan. 5 pont.

Az elsõ ábrán megadott függvénynek melyik lehet a deriváltja a további ábrákon láthatóak közül? Indokoljon!

fb10=Simplify[6 Integrate[-(x-1)(x+2),x]+2];
Solve[D[fb10,x]==0,x];
D[fb10,{x,2}];
Show[GraphicsArray[Partition[{Plot[fb10,{x,-3,2},AspectRatio->1],Plot[Evaluate[D[fb10,x]],{x,-3,2},AspectRatio->1],Plot[Evaluate[-fb10],{x,-3,2},AspectRatio->1],Plot[Evaluate[-0.5D[fb10,x]],{x,-3,2},AspectRatio->1]},4]]]

Függvényvizsgálat. 10 pont.

Határozza meg az f(x)= -(1/12) (x^2) (-18-4 x+(x^2)) függvény maximum, minimum  helyeit és inflexiós pontjait.

Keverés. 5 pont.

15 kg 30 % -os sóoldatunk van.  21 % -os oldatra van szükségünk. A raktáron levõ  90, 70, 20, 10, 5 %-os oldatok közül egyet kiválasztva, mekkora mennyiséget keverjünk az eredeti oldathoz? Melyik oldatokat választhatjuk és miért?

Függvényfelismerés. 5 pont.

Az alábbi görbék közül, melyik függvény grafikonja? A függvények  esetén  adja meg a kölcsönösen egyértelmû szakaszokat, a nem függvényekbõl vágjon ki függvénygrafikonokat!

Show[GraphicsArray[Partition[
{ParametricPlot[{x,Cos[x]},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Cos[x],x},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,x^3},{x,-1,1},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Cos[x],x Sin[x]},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Sin[x],Cos[x]/(x^3+1)},
 {x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1]},5]]]

Inverz függvények, transzformációk. 10 pont.

Az ábrákon láthatóak közül melyik görbe  tekinthetõ  az f(x)=(((x-1))^2)+2  függvény invezének valamely intervallumon. Adja meg az adott inverz képletét és az  intervallumot is. Ábrázolja az f(x) függvényt!

Show[GraphicsArray[Partition[
{Plot[Sqrt[x-1]+1,{x,1,6},PlotRange->
{{0,8},{-1,3}},AspectRatio->Automatic],
 Plot[-Sqrt[x-2]+1,{x,2,6},PlotRange->
 {{0,8},{-1,3}},AspectRatio->Automatic],
 ParametricPlot[{(x-1)^2,x},{x,-1,4},AspectRatio->Automatic, PlotRange->{{0,6},{-1,3}}]},3]]]

Értelmezési tartomány, grafikon. 10 pont.

Adja meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és vázolja a grafikonját:

f(x)=(Subscript[log, 2]) (-x+1)-2 ;       g(x)=ctg πx +1.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Ábrázolja az  f(x)=(10^(-x/2+1))  függvényt és a      (2,10),(1.5,2),(3,0.1)   pontokat  egy megfelelõ log. koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét. Becslés alapján próbáljon készíteni részletesebb log. skálát az [1,10] intervallumon.

Deriválás. 4+8+8 pont.

Határozza meg az alábbi függvények deriváltját:

(2^x)(1-(x^3));         (10^(x+lg(x-2)))cos x;           (((x-1)sin((x^2)))/((x^2)-x-1)).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(Sqrt[(x^3)+1]) függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 2 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= 2.1 helyen.

Derivált alkalmazásai. 10 pont.

Egy mozgó test által megtett utat az s(t)=3(((t-1))^2)+2  útfüggvény írja le. Határozza meg a test helyét, pillanatnyi sebességét és gyorsulását a T=2 pillanatban.

Függvénytulajdonságok grafikusan. 5+5 pont.

Jellemezze az ábrán látható függvényt: ért. tartomány, értékkészlet, folytonosság, szakadási helyek, határértékek a szakadásoknál. Hol vannak a  lokális szélsõértékek, inflexiós pontok és monoton szakaszok?

Abs'[x_/; x>0]:=1 ;
Abs'[x_/; x<0]:=-1 ;
Sign'[x_]:=0  ;
Plot[Abs[x/4]^0.5 Abs[x-1]^0.5 (x-1)^(-1)(x-2)^2,{x,-1,3},PlotRange->{-3,3},AspectRatio->1/2]

Derivált keresése grafikusan. 5 pont.

Az elsõ ábrán megadott függvénynek melyik lehet a deriváltja a további ábrákon láthatóak közül? Indokoljon!

fc10=Simplify[6 Integrate[(x+1)(x-2),x]+1];
Solve[D[fc10,x]==0,x];
D[fc10,{x,2}];
Show[GraphicsArray[Partition[{Plot[fc10,{x,-2,3},AspectRatio->1],Plot[Evaluate[-D[fc10,x]-12],{x,-2,6},AspectRatio->1],Plot[Evaluate[D[fc10,x]],{x,-2,3},AspectRatio->1],Plot[-0.5 fc10,{x,-2,3}],AspectRatio->1},4]]]

Függvényvizsgálat. 10 pont.

Határozza meg az f(x)= (1/12) (x^2) ((x^2)-2 x-2) függvény maximum, minimum  helyeit és inflexiós pontjait.

Keverés. 5 pont.

10 kg 20 % -os sóoldatunk van.  24 % -os oldatra van szükségünk. A raktáron levõ  90, 70, 20, 10, 5 %-os oldatok közül egyet kiválasztva, mekkora mennyiséget keverjünk az eredeti oldathoz? Melyik oldatokat választhatjuk és miért?

Függvényfelismerés. 5 pont.

Az alábbi görbék közül, melyik függvény grafikonja? A függvények  esetén  adja meg a kölcsönösen egyértelmû szakaszokat, a nem függvényekbõl vágjon ki függvénygrafikonokat!

Show[GraphicsArray[Partition[
{ParametricPlot[{Sin[x],Cos[2x]},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Sin[x],x^2},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{Sin[x],x^1/3},{x,0,2Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,x Sin[x]},{x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1],
 ParametricPlot[{x,Sin[x/2]},
 {x,-Pi,Pi},
AspectRatio->1]},5]]]

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Az ábrákon láthatóak közül melyik görbe  tekinthetõ  az f(x)=-(((x+3))^2)-2  függvény invezének valamely intervallumon. Adja meg az adott inverz képletét és az  intervallumot is. Ábrázolja az f(x) függvényt!

Clear[f]
f[x_]:=-(x+3)^2-2
Show[GraphicsArray[Partition[
{ParametricPlot[
{f[x-1]+1,x},{x,-2,1},
PlotRange->{{-5,0},{-5,0}},AspectRatio->Automatic],
 ParametricPlot[{f[x],x},{x,-5,0},PlotRange->
 {{-5,0},{-5,0}},AspectRatio->Automatic],
 ParametricPlot[{f[x],x},{x,-8,-3},AspectRatio->Automatic, PlotRange->{{-5,0},{-5,0}}]},3]]]

Értelmezési tartomány, grafikon. 10 pont.

Adja meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és vázolja a grafikonját:

f(x)=(((-x+2))^(-2))+1 ;       g(x)=tg 2πx -π.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Ábrázolja az  f(x)=(10^(2x-4))  függvényt és a      (1,0.001),(1.5,0.03),(3,0.01)   pontokat  egy megfelelõ log. koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét. Becslés alapján próbáljon készíteni részletesebb log. skálát az [0.1,1] intervallumon.

Deriválás. 4+8+8 pont.

Határozza meg az alábbi függvények deriváltját:

(3^(-x))(sin(x)-x);        lg(x(10^(x-(3/x))))tg(x);       (((ln^2)(x))/((x^3)-(x^2)-x)).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(Sqrt[-(x^4)+5(x^2)]) függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 1 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= 0.9 helyen.

Derivált alkalmazásai. 10 pont.

Egy mozgó test által megtett utat az s(t)=4(((t-3))^2)-3t  útfüggvény írja le. Határozza meg a test helyét, pillanatnyi sebességét és gyorsulását a T=1  pillanatban.

Függvénytulajdonságok grafikusan. 5+5 pont.

Jellemezze az ábrán látható függvényt: ért. tartomány, értékkészlet, folytonosság, szakadási helyek, határértékek a szakadásoknál. Hol vannak a  lokális szélsõértékek, inflexiós pontok és monoton szakaszok?

Abs'[x_/; x>0]:=1 ;
Abs'[x_/; x<0]:=-1 ;
Sign'[x_]:=0  ;
Plot[-Abs[(x-1)/4]^0.5 Abs[x+1] (x+1)^(-1)(x+2)^2,{x,-3,2},PlotRange->{-4,1},AspectRatio->1/2,PlotPoints->100]

Derivált keresése grafikusan. 5 pont.

Az elsõ ábrán megadott függvénynek melyik lehet a deriváltja a további ábrákon láthatóak közül? Indokoljon!

fd10=Simplify[6 Integrate[-(x-1)(x+2),x]+2];
Solve[D[fd10,x]==0,x];
D[fd10,{x,2}];
Show[GraphicsArray[Partition[{Plot[fd10,{x,-3,2},AspectRatio->1],Plot[Evaluate[D[fd10,x]],{x,-3,2},AspectRatio->1],Plot[Evaluate[-fd10],{x,-3,2},AspectRatio->1],Plot[Evaluate[-0.5D[fd10,x]],{x,-3,2},AspectRatio->1]},4]]]

Függvényvizsgálat. 10 pont.

Határozza meg az f(x)= -(1/12) (x^2) (-18-4 x+(x^2)) függvény maximum, minimum  helyeit és inflexiós pontjait.