1.dolgozat - 1996. tanév

Keverés. 5 pont.

12g 18%-os oldathoz hány gramm 90%-os oldatot keverjünk, hogy 24%-os oldatot kapjunk?

Halmazok. 5 pont.

A={1,2, 3, 10, -1} és B={-2, -1, 2, 0, 4, 5}. Adja meg a két halmaz unióját, metszetét, (A-B)-t és (B-A)-t!

Logikai műveletek. 5 pont.

Tagadjuk le az alábbi állítást: minden x>0 esetén az f(x) függvény pozitív és folytonos! Rajzoljunk példákat az eredeti és a tagadott állítás bemutatására!

Függvényfelismerés. 5 pont.

Inverz függvény. 10 pont.

Határozza meg a következő függvény inverzét, majd ábrázolja mindkét függvényt! F(x)=(((x-2))^4)-1

Értelmezési tartomány, grafikon. 5 pont.

Adja meg az f(x)= tg(x)-1 függvény értelmezési tartományát és ábrázolja a függvényt!

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Linearizálja és ábrázolja az f(x)=(10^(-(x/2)+1)) függvényt!

Deriválás. 3+6+6 pont.

((e^(x((x^2)+1))))’	 (sinx×(10^(x+lgx)))’ 	(sin(πx)×(x-1)(x-2))’

Érintő egyenlete, közelítés. 10 pont.

Határozza meg az f (x) = ((((x^2)+2x+6))^2) függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 1 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= 1.01 helyen.

Függvénytulajdonságok grafikusan. 5 pont.

Vázolja az alábbi függvény deriváltját, jelölje be a függvény lokális szélsőértékhelyeit és inflexiós pontjait!

f11=Abs[x^3+5x^2-2]+1/Abs[x-1]
Plot[f11,{x,-6,3},PlotRange->{0,20},AspectRatio->1/4]

Függvény-derivált párosítás. 10 pont.

Adott egy függvény deriváltja. Vázolja az eredeti függvényt!

Df12=(x^2)+((x-1)/(Abs[x-1]));Plot[Df12,{x,-2,2}]

Függvényvizsgálat. 20 pont.

Határozza meg az f(x)=x+(1/(2(x^2))) függvény lokális szélsőértékhelyeit és inflexiós pontjait! Ábrázolja a függvényt!

Keverés. 5 pont.

Mennyi 24%-os oldatot és oldószert keverjünk össze, hogy 5g 4%-os oldatot kapjunk?

Halmazok. 5 pont.

Képezze a (-1,3) és [2, ∞) halmazok metszetét, egyesítését, az A\B és B\A halmazokat.

Logikai műveletek. 5 pont.

Tagadjuk le az alábbi állítást: Van olyan x>0 hely, amelyben az f’(x)=0 vagy f(x)=0. Rajzoljunk  példákat az eredeti és a tagadott állítás bemutatására.

Függvényfelismerés. 5 pont.

Az alábbiak közül melyik függvény grafikonja, és melyik nem?

Inverz függvény. 10 pont.

Határozza meg a következő függvény inverzét, majd ábrázolja mindkét függvényt! F(x) = ((x - 2)/(x-3)).

Értelmezési tartomány, grafikon. 5 pont.

Adja meg az f(x)= tg(πx)-1 függvény értelmezési tartományát és ábrázolja a függvényt!

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Linearizálja és ábrázolja az f(x)=(10^((x/3)-2)) függvényt!

Deriválás. 3+6+6 pont.

(((lg(x))/x))’;	((((e^x)+(e^(-x)))/((e^x)-(e^(-x)))))’;	(lg(lg(2sin(x))))’

Érintő egyenlete, közelítés. 10 pont.

Határozza meg az f (x) = 3-(e^(sin(x))) függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 0 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])= 0.2 helyen.

Függvénytulajdonságok grafikusan. 5 pont.

Vázolja az alábbi függvény deriváltját, jelölje be a függvény lokális szélsőértékhelyeit és inflexiós pontjait!

fb11=Abs[10Log[Sin[x]^2+0.5]] +Sign[(x-Pi/2)] ;
Plot[fb11,{x,-1/2,3},PlotRange->{-2,7},AspectRatio->1/4,PlotPoints->40 ]

Függvény - derivált párosítás. 10 pont.

Adott az alábbi függvény. Vázolja a deriváltját!

f12=Abs[x](x-1)(x+2) ;
Plot[f12,{x,-3,2}]

Függvényvizsgálat. 20 pont.

Határozza meg az f(x)=(x^2)+(1/x) függvény lokális szélsőértékhelyeit és inflexiós pontjait! Ábrázolja a függvényt!

Keverés. 5 pont.

10g 25%-os oldathoz hány gramm 5%-os oldatot keverjünk, hogy 15%-os oldatot kapjunk?

Halmazok. 5 pont.

A={5, 6, 8, 15, -3, -2} és B={-2, -1, 5, 10}. Képezze a két halmaz unióját, metszetét, valamint (A-B)-t és (B-A)-t.

Logikai műveletek. 5 pont.

Függvényfelismerés. 5 pont.

Inverz függvény. 10 pont.

Határozza meg a következő függvény inverzét, majd ábrázolja mindkét függvényt! F(x) =(((x+1))^2)-2 .

Értelmezési tartomány, grafikon. 5 pont.

Adja meg az f(x)= lg(x+2)-1 függvény értelmezési tartományát és ábrázolja a függvényt!

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Linearizálja és ábrázolja az f(x)=(5^((x/5)-2)) függvényt!

Deriválás. 3+6+6 pont.

(((x^3)-x)×tg(x))’;	((3^(x-sin(x)))×lg(x))’;	(lg(((-2x+3))^2)+tg(3x))’.

Érintő egyenlete, közelítés. 10 pont.

Határozza meg az f (x) = (x^2)-2x+5 függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= -1 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])=-1.01 helyen.

Függvénytulajdonságok grafikusan. 5 pont.

Vázolja az alábbi függvény deriváltját, jelölje be a függvény lokális szélsőértékhelyeit és inflexiós pontjait!

fc11= x(x-2)Abs[x-4] -1/Abs[x+1] ;
Plot[fc11,{x,-2,5},PlotRange->{-5,7} ,AspectRatio->1/4,PlotPoints->50]

Függvény - derivált párosítás. 10 pont.

Adott egy függvény deriváltja. Vázolja az eredeti függvényt!

Df12=-x^2+ (x+1)/Abs[x+1];
Plot[Df12,{x,-2,2}]

Függvényvizsgálat. 20 pont.

Határozza meg az f(x)=(x^3)+(1/(x^2)) függvény lokális szélsőértékhelyeit és inflexiós pontjait! Ábrázolja a függvényt!

Keverés. 5 pont.

Mennyi oldandó anyagot adjunk mennyi 10%-os oldathoz, hogy 6g 12%-os oldatot kapjunk?

Halmazok. 5 pont.

Képezze a (-∞,2) és [1,5) halmazok metszetét, egyesítését, az A\B és B\A halmazokat.

Logikai műveletek. 5 pont.

Függvényfelismerés. 5 pont.

Inverz függvény. 10 pont.

Határozza meg a következő függvény inverzét, majd ábrázolja mindkét függvényt! F(x) = ((1-x)/(x+2)).

Értelmezési tartomány, grafikon. 5 pont.

Adja meg az f(x)= lg(x-2)+1 függvény értelmezési tartományát és ábrázolja a függvényt!

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Linearizálja és ábrázolja az f(x)=(3^(((2x)/5)+1)) függvényt!

Deriválás. 3+6+6 pont.

(((5^x)/x))’; 		(((lg(cos(x))+(x^3))/((x^2)+1)))’;	(tg(lg(-(x^2)+x-1)))’.

Érintő egyenlete, közelítés. 10 pont.

Határozza meg az f (x) = (((x+1))^2)+lg(cos(x)) függvény érintõjének az egyenletét az (Subscript[x, 0])= 0 helyen. Az érintõ segítségével adjon becslést a függvény értékére az (Subscript[x, 1])=0.1 helyen.

Függvénytulajdonságok grafikusan. 5 pont.

Vázolja az alábbi függvény deriváltját, jelölje be a függvény lokális szélsőértékhelyeit és inflexiós pontjait!

fd11=E^(-Sin[x]) -(x-Pi/2)/Abs[x-Pi/2] ;
Plot[fd11,{x,-5,5},PlotRange->{-2,6},AspectRatio->1/4 ]

Függvény - derivált párosítás. 10 pont.

Adott az alábbi függvény. Vázolja a deriváltját!

fd12=-Abs[x](-x-1)(-x+2) ;
Plot[fd12,{x,-1.5,2}]

Függvényvizsgálat. 20 pont.

Határozza meg az f(x)=(x^2)+(3/x) függvény lokális szélsőértékhelyeit és inflexiós pontjait! Ábrázolja a függvényt!