A kézzelfogható matematika - a poliéderek csodálatos világa

Előadó: Szilassi Lajos
Időtartam: 60
Technikai eszközök:

Projektor, számítógép

Hallgatóság: Középiskola
Ismertető:

A poliéderek (síkbeli sokszögekkel határolt mértani testek) világa olyan szerteágazó, hogy bármely részletéről, akár a kockáról is órákig, sőt több féléves kurzusnyi ideig lehetne beszélni. Így most e témának egy szűkebb, az előadó kutatási területét is érintő részletével, az un. szabályos toroidokkal ismerkedünk meg, a szemléletesség elvét messzemenően szem előtt tartva.

Közismert, hogy az euklídeszi sík a szabályos sokszögek közül a háromszöggel, négyzettel és a szabályos hatszöggel fedhető le egyrétegűen és hézagmentesen.  Az így kiparkettázott síkból egy alkalmas módon kiválasztott téglalapot kivágva és ennek a szemközti lapjait azonosnak tekintve kapjuk a tóruszra (mentőövre) rajzolt szabályos térkép három alaptípusát. Ezeket rendre a {3,6} , {4,4} és a {6,3} szimbólummal jelöljük, ahol a {p,q} azt jelenti, hogy minden lapnak pontosan p határvonala van, és minden csúcsba pontosan q határvonal (él) fut be.

Vajon lehet-e az így kapott térképekkel megegyező szerkezetű poliédereket is előállítani? A {6,3} típusú toroidok közül 1977-ben sikerült megtalálni a minimális (7) lapszámút. Megmutatjuk, hogy minden 7£ n £ 15 lapszámra, és ezek összes kombinatorikus típusára előállítható {6,3} típusú toroid.

Ezek a közelmúltban felfedezett konstrukciók nem csak matematikai szempontból figyelemreméltó eredmények „kézzelfogható” bizonyítékai, hanem sajátos vizuális élményt nyújtó térplasztikák is.